Известия Саратовского университета. Новая серия.

Серия Математика. Механика. Информатика

ISSN 1816-9791 (Print)
ISSN 2541-9005 (Online)


Для цитирования:

Бойков И. В., Рязанцев В. А. Об одном итерационном методе решения прямых и обратных задач для параболических уравнений // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия : Математика. Механика. Информатика. 2023. Т. 23, вып. 3. С. 286-310. DOI: 10.18500/1816-9791-2023-23-3-286-310, EDN: HMFDHB

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Опубликована онлайн: 
31.08.2023
Полный текст:
(downloads: 585)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
519.63
EDN: 
HMFDHB

Об одном итерационном методе решения прямых и обратных задач для параболических уравнений

Авторы: 
Бойков Илья Владимирович, Пензенский государственный университет
Рязанцев Владимир Андреевич, Пензенский государственный университет
Аннотация: 

Статья посвящена приближенным методам решения прямых и обратных задач для параболических уравнений. Предложен приближенный метод решения начальной задачи для многомерного нелинейного параболического уравнения. Метод основан на приведении начальной задачи к нелинейному многомерному интегральному уравнению Фредгольма второго рода, которое аппроксимируется системой нелинейных алгебраических уравнений по технологии метода механических квадратур. При построении вычислительной схемы использованы узлы локальных сплайнов, реализующих оптимальную по порядку аппроксимацию класса функций, к которому принадлежат решения параболических уравнений. Для численной реализации вычислительной схемы используется приведенное в работе обобщение непрерывного метода решения нелинейных операторных уравнений. Исследуется обратная задача для параболического уравнения с дробной производной по временной переменной. Предложены приближенные методы определения порядка дробной производной по времени и коэффициента при  производной по пространственной переменной.

Список источников: 
  1. Ladyzenskaja O. A., Solonnikov V. A. Ural’ceva N. N. Linear and Quasi-linear Equations of Parabolic Type. Providence : American Mathematical Society, 1988. 648 p.
  2. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. Москва : Мир, 1972. 588 c.
  3. Морс Ф. М., Фешбах Г. Методы теоретической физики : в 2 т. Т. 2. Москва : Медиа, 2012. 886 с.
  4. Крылов Н. В. Лекции по эллиптическим и параболическим уравнениям в пространствах Гельдера. Новосибирск : Научная книга, 1998. 178 с.
  5. Крылов Н. В. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения второго порядка. Москва : Наука, 1985. 376 с.
  6. Корпусов М. О. Конспект лекций по курсу «Нелинейные эллиптические и параболические уравнения математической физики для аспирантов». Москва : Физический факультет МГУ, 2016. 188 с.
  7. Полянин А. Д., Зайцев В. Ф., Журов А. И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. Москва : Физматлит, 2009. 256 с.
  8. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Вычислительная теплопередача. Москва : ЛИБРОКОМ, 2009. 784 с.
  9. Вабищевич П. Н. Вычислительные методы математической физики. Нестационарные задачи. Москва : Вузовская книга, 2008. 228 с.
  10. Kabanikhin S. I. Inverse and ill-posed problems. Theory and Applications. Berlin ; Boston : De Gruyter, 2011. 475 p. https://doi.org/10.1515/9783110224016
  11. Hasanov H. A., Romanov V. G. Introduction to Inverse Problems for Differential Equations. Springer International Publishing AG, 2017. 261 p. https://doi.org/10.1007/978-3-319-62797-7
  12. Денисов А. М. Введение в теорию обратных задач. Москва : Изд-во МГУ, 1994. 206 с.
  13. Beilina L., Klibanov M. V. Approximate Global Convergence and Adaptivity for Coefficient Inverse Problems. New York : Springer, 2012. 408 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4419-7805-9
  14. Бойков И. В., Рязанцев В. А. Об одном приближенном методе определения коэффициента теплопроводности // Журнал Средневолжского математического общества. 2019. Т. 21, № 2. С. 149–163. https://doi.org/10.15507/2079-6900.21.201902.149-163
  15. Бойков И. В., Рязанцев В. А. Об одном итерационном методе решения параболических уравнений // Современные проблемы теории функций и их приложения : материалы 21-й междунар. Саратовской зимней школы (Саратов, 31 января – 4 февраля 2022 г.). Саратов : Саратовский университет [Издание], 2022. Вып. 21. С. 50–54. EDN: BVALVE
  16. Daleckii Ju. L., Krein M. G. Stability of Solutions of Differential Equations in Banach Space. Providence : Americal Mathematical Society, 1974. 386 p. (Translations of Mathematical Monographs. Vol. 43).
  17. Dekker K., Verwer J. G. Stability of Runge – Kutta methods for stiff nonlinear differential equations. New York : Elsevier Science Ltd, 1984. 308 p.
  18. Lozinskii S. M. Note on a paper by V. S. Godlevskii // USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1973. Vol. 13, iss. 2. P. 232–234. https://doi.org/10.1016/0041-5553(73)90144-4
  19. Kantorovich L. V., Akilov G. P. Functional Analysis. Oxford : Pergamon Press, 1982. 600 p.
  20. Krasnosel’skii M. A., Vainikko G. M., Zabreiko P. P., Rutitskii Ya. B., Stetsenko Ya. V. Approximate Solution of Operator Equations. Groningen : Wolters-Noordhoff Publishing, 1972. 496 p. https://doi.org/10.1007/978-94-010-2715-1
  21. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. Москва : Бином. Лаборатория знаний. 2011. 640 с. EDN: QJXMXL
  22. Гавурин М. К. Нелинейные функциональные уравнения и непрерывные аналоги итеративных методов // Известия вузов. Математика. 1958. № 5. С. 18–31.
  23. Пузынин И. В., Бояджиев Т. Л., Виницкий С. И., Земляная Е. В., Пузынина Т. П., Чулуунбаатар О. О методах вычислительной физики для исследования моделей сложных физических процессов // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 2007. Т. 38, вып. 1. С. 144–232.
  24. Boikov I. V. On a continuous method for solving nonlinear operator equations // Differential Equations. 2012. Vol. 48, № 9. P. 1288–1295. https://doi.org/10.1134/S001226611209008X
  25. Boikov I. V., Ryazantsev V. A. On Optimal Approximation of Geophysical Fields // Numerical Analysis and Applications. 2021. Vol. 14, iss. 1. P. 13–29. https://doi.org/10.1134/S199542392101002X
  26. Lanczos K. Applied Analysis. New Jersey : Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1956. 539 p.
  27. Бойков И. В., Кривулин Н. П. Аналитические и численные методы идентификации динамических систем. Пенза : Изд-во Пензенского гос. ун-та, 2016. 398 с.
  28. Бойков И. В., Кривулин Н. П. Приближенный метод восстановления входных сигналов измерительных преобразователей // Измерительная техника. 2021. № 12. С. 3–7. https://doi.org/10.32446/0368-1025it.2021-12-3-7, EDN: PVVHQW
  29. Бойков И. В., Рязанцев В. А. Численное восстановление начального условия в задачах Коши для линейных параболических и гиперболических уравнений // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2020. № 3 (55). С. 72–88. https://doi.org/10.21685/2072-3040-2020-3-6
  30. Boykov I. V., Ryazantsev V. A. An approximate method for solving an inverse coefficient problem for the heat equation // Journal of Applied and Industrial Mathematics. 2021. Vol. 15, iss. 2. P. 175–189. https://doi.org/10.1134/S1990478921020010
  31. Mainardi F. On the initial value problem for the fractional diffusion-wave equation // Waves and Stability in Continuous Media / ed. by S. Rionero, T. Ruggert. World Scientific, Singapore, 1994. P. 246–251.
  32. Учайкин В. В. Метод дробных производных. Ульяновск : Артишок. 2008. 512 с.
  33. Samko S. G., Kilbas A. A., Marichev O. I. Fractional Integrals and Derivatives. Theory and Applications. Amsterdam : Gordon and Breach Science Publishers, 1993. 1006 p.
Поступила в редакцию: 
12.04.2022
Принята к публикации: 
02.03.2023
Опубликована: 
31.08.2023