Известия Саратовского университета. Новая серия.

Серия Математика. Механика. Информатика

ISSN 1816-9791 (Print)
ISSN 2541-9005 (Online)


Для цитирования:

Салимов Р. Б., Хасанова Э. Н. Решение однородной краевой задачи Римана с бесконечным индексом логарифмического порядка на луче новым методом // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17, вып. 2. С. 160-171. DOI: 10.18500/1816-9791-2017-17-2-160-171

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Опубликована онлайн: 
22.05.2017
Полный текст:
(downloads: 47)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
УДК: 
501.1

Решение однородной краевой задачи Римана с бесконечным индексом логарифмического порядка на луче новым методом

Авторы: 
Салимов Расих Бахтигареевич, Казанский государственный архитектурно-строительный университет
Хасанова Энже Назиповна, Казанский государственный архитектурно-строительный университет
Аннотация: 

Рассматривается однородная краевая задача Римана с краевым условием на луче положительной действительной оси с началом в точке с координатой, равной единице, для функции, аналитической в комплексной плоскости с разрезом по указанному лучу. В краевом условии значение искомой аналитической функции в любой точке левого (при движении в положительном направлении) берега разреза представляется как произведение значения заданной функции, называемой коэффициентом, и значения искомой функции в указанной точке правого берега разреза. Предполагая, что модуль коэффициента удовлетворяет условию Гельдера всюду на луче, включая бесконечно удаленную точку, а аргумент коэффициента удовлетворяет условию Гельдера на любой конечной части луча и неограниченно растет как степень логарифма координаты точки луча при неограниченном удалении этой точки от начала луча. Выводится формула, определяющая аналитическую в верхней полуплоскости функцию, мнимая часть которой при стремлении координаты точки луча к бесконечности является бесконечно большой того же порядка, что и аргумент коэффициента краевого условия. Далее строится соответствующая функция в нижней полуплоскости. Использование указанных двух функций позволяет устранить бесконечный разрыв аргумента коэффициента краевого условия аналогично тому, как это делается в случае конечных разрывов этого коэффициента. На основе приемов, применяемых Ф. Д. Гаховым, задача с условием на луче приводится к задаче с краевым условием на всей действительной оси, для точек которой, нележащих на указанном луче, коэффициент краевого условия равен единице. Для решения последней задачи используется метод Ф. Д. Гахова. Найденное решение зависит от произвольной целой функции нулевого порядка, модуль которой подчинен одному условию, в то время как в случае конечного индекса решение задачи зависит от произвольного многочлена степени не выше индекса задачи.

Список источников: 
  1. Юров П. Г. Однородная краевая задача Римана с бесконечным индексом логарифмического типа // Изв. вузов. Матем. 1966. № 2. С. 158–163.
  2. Алекна П. Ю. Об однородной краевой задаче Римана с бесконечным индексом логаифмического порядка для полуплоскости // Литовский матем. сб. 1973. Т. XIII, № 3. С. 5–13.
  3. Салимов Р. Б., Карабашева Э. Н. Новый подход к решению краевой задачи Римана с бесконечным индексом // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. 2. С. 155–165.
  4. Салимов Р. Б. О новом подходе к решению краевой задачи Римана с условием на луче в случае бесконечного индекса // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16, вып. 1. С. 29–33. DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2016-16-1-29-33.
  5. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М. : Наука, 1977. 640 с.
  6. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М. : Наука, 1968. 511 с.
  7. Говоров Н. В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом. М. : Наука, 1986. 289 с.
  8. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций : в 2 т. М. : Наука, 1968. Т. 1. 486 с.
  9. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций : в 2 т. М. : Наука, 1968. Т. 2. 624 с.
  10. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М. : Гостехиздат, 1956. 632 с.