В статье изучаются конечные группы, неразложимые в подпрямое произведение групп (подпрямо неразложимые), коммутанты которых являются циклическими подгруппами. Доказано, что расширения примарной циклической группы с помощью любой подгруппы ее группы автоморфизмов полностью описывают строение непримарных конечных подпрямо неразложимых групп с циклическим коммутантом. Основной результат статьи представлен теоремой: конечная непримарная группа является подпрямо неразложимой с циклическим коммутантом тогда и только тогда, когда для некоторого простого числа $p\geq 3$ в ней найдется неединичная нормальная циклическая $p$-подгруппа, совпадающая  со своим централизатором в группе. Кроме того, показано, что требование непримарности в формулировке теоремы является существенным.