Рассматривается конечномерная задача о вложении заданного компакта D ⊂ R ^p в нижнее лебегово множество G(α) = {y ∈ R ^p: f(y) <= α} выпуклой функции f(·) с наименьшим значением α за счет смещения D. Ее математическая формализация приводит к задаче минимизации функции φ(x) = max _y∈D f(y − x) на R ^p  Исследованы свойства функции φ(x), получены необходимые и достаточные условия и условия единственности решения задачи. В качестве базового для приложений выделен случай, когда f(·) — калибровочная функция Минковского некоторого выпуклого тела M. Показано, что если M — многогранник, то задача сводится к задаче линейного программирования. Предложен подход к получению приближенного решения, в котором при построении последовательности приближений {x_i} _i=0,1,..., зная приближение x_i , для получения x_i+1 требуется решить более простую задачу вложения компакта D в лебегово множество калибровочной функции множества M_i = G(α_i), где α_i = φ(x_i). Дается обоснование сходимости последовательности приближений к решению задачи.