Для цитирования:
Абрамова В. В., Дудов С. И., Осипцев М. А. Внешняя оценка компакта лебеговым множеством выпуклой функции // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2020. Т. 20, вып. 2. С. 142-153. DOI: 10.18500/1816-9791-2020-20-2-142-153, EDN: SWHMHU
Внешняя оценка компакта лебеговым множеством выпуклой функции
Рассматривается конечномерная задача о вложении заданного компакта D ⊂ R p в нижнее лебегово множество G(α) = {y ∈ R p: f(y) <= α} выпуклой функции f(·) с наименьшим значением α за счет смещения D. Ее математическая формализация приводит к задаче минимизации функции φ(x) = max y∈D f(y − x) на R p Исследованы свойства функции φ(x), получены необходимые и достаточные условия и условия единственности решения задачи. В качестве базового для приложений выделен случай, когда f(·) — калибровочная функция Минковского некоторого выпуклого тела M. Показано, что если M — многогранник, то задача сводится к задаче линейного программирования. Предложен подход к получению приближенного решения, в котором при построении последовательности приближений {xi} i=0,1,..., зная приближение xi , для получения xi+1 требуется решить более простую задачу вложения компакта D в лебегово множество калибровочной функции множества Mi = G(αi), где αi = φ(xi). Дается обоснование сходимости последовательности приближений к решению задачи.
- Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М. : Наука, 1980. 320 с.
- Демьянов В. Ф., Васильев Л. В. Недифференцируемая оптимизация. М. : Наука, 1981. 384 с.
- Демьянов В. Ф., Рубинов А. М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М. : Наука, 1990. 431 с.
- Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М. : Наука, 1988. 280 с.
- Брейтон Р. К., Хэчтел Г. Д., Санджованни-Винчентелли А. Л. Обзор методов оптимального проектирования интегральных схем // ТИИЭР. 1981. Т. 69, № 10. С. 180–215.
- Дудов С. И., Мещанов В. П. Параметрическая оптимизация проектируемых устройств по критериям стоимости и качества // Обзоры по электронике. Сер. 1. Электроника СВЧ. М. : ЦНИИ «Электроника», 1990. Вып. 1 (1512). 40 с.
- Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М. : Наука, 1974. 481 с.
- Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. М. : Физматлит, 2004. 240 с.
- Рокафеллар Р. Т. Выпуклый анализ. М. : Мир, 1973. 340 с.
- Зуховицкий С. И., Авдеева Л. И. Линейное и выпуклое программирование. М. : Наука, 1964. 460 с.
- Иванов Г. Е. Слабо выпуклые множества и функции. М. : Физматлит, 2006. 352 с.
- Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию. М. : Наука, 1983. 384 с.
- Vial J.-P. Strong and weak convexity of set and funtions // Math. Ops. Res. 1983. Vol. 8, № 2. P. 231–259.
- Васильев Ф. П. Методы оптимизации. М. : МЦНМО, 2011. 433 с.
- Бронштейн E. M. Аппроксимация выпуклых множеств многогранниками // СМФН. 2007. Т. 22. С. 5–37.
- 1487 просмотров