Образец для цитирования:

Абрамова В. В., Дудов С. И., Осипцев М. А. Внешняя оценка компакта лебеговым множеством выпуклой функции // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2020. Т. 20, вып. 2. С. 142-153. DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2020-20-2-142-153


Опубликована онлайн: 
01.06.2020
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
УДК: 
519.853

Внешняя оценка компакта лебеговым множеством выпуклой функции

Аннотация: 

Рассматривается конечномерная задача о вложении заданного компакта D ⊂ R p в нижнее лебегово множество G(α) = {y ∈ R p: f(y) 6 α} выпуклой функции f(·) с наименьшим значением α за счет смещения D. Ее математическая формализация приводит к задаче минимизации функции φ(x) = max y∈D f(y − x) на R p  Исследованы свойства функции φ(x), получены необходимые и достаточные условия и условия единственности решения задачи. В качестве базового для приложений выделен случай, когда f(·) — калибровочная функция Минковского некоторого выпуклого тела M. Показано, что если M — многогранник, то задача сводится к задаче линейного программирования. Предложен подход к получению приближенного решения, в котором при построении последовательности приближений {xi}i=0,1,..., зная приближение xi , для получения xi+1 требуется решить более простую задачу вложения компакта D в лебегово множество калибровочной функции множества Mi = G(αi), где αi = φ(xi). Дается обоснование сходимости последовательности приближений к решению задачи.

Библиографический список

1. Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М. : Наука, 1980. 320 с.
2. Демьянов В. Ф., Васильев Л. В. Недифференцируемая оптимизация. М. : Наука, 1981. 384 с.
3. Демьянов В. Ф., Рубинов А. М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М. : Наука, 1990. 431 с.
4. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М. : Наука, 1988. 280 с.
5. Брейтон Р. К., Хэчтел Г. Д., Санджованни-Винчентелли А. Л. Обзор методов оптимального проектирования интегральных схем // ТИИЭР. 1981. Т. 69, № 10. С. 180–215.
6. Дудов С. И., Мещанов В. П. Параметрическая оптимизация проектируемых устройств по критериям стоимости и качества // Обзоры по электронике. Сер. 1. Электроника СВЧ. М. : ЦНИИ «Электроника», 1990. Вып. 1 (1512). 40 с.
7. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М. : Наука, 1974. 481 с.
8. Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. М. : Физматлит, 2004. 240 с.
9. Рокафеллар Р. Т. Выпуклый анализ. М. : Мир, 1973. 340 с.
10. Зуховицкий С. И., Авдеева Л. И. Линейное и выпуклое программирование. М. : Наука, 1964. 460 с.
11. Иванов Г. Е. Слабо выпуклые множества и функции. М. : Физматлит, 2006. 352 с.
12. Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию. М. : Наука, 1983. 384 с.
13. Vial J.-P. Strong and weak convexity of set and funtions // Math. Ops. Res. 1983. Vol. 8, № 2. P. 231–259.
14. Васильев Ф. П. Методы оптимизации. М. : МЦНМО, 2011. 433 с.
15. Бронштейн E. M. Аппроксимация выпуклых множеств многогранниками // СМФН. 2007. Т. 22. С. 5–37.

Полный текст в формате PDF: