В работе изучается скорость равномерной сходимости аппроксимаций Эрмита – Паде (совместных аппроксимаций Паде) $\{\pi^j_{n,\overrightarrow{m}}(z)\}_{j=1}^k$ для набора экспоненциальных функций $\{e^{\lambda_jz}\}_{j=1}^k$, где $\{\lambda_j\}_{j=1}^k$ — различные не равные нулю комплексные числа. Исследование асимптотических свойств аппроксимаций Эрмита – Паде в общем случае является достаточно сложной задачей. Это связано с тем, что при их изучении используются в основном асимптотические методы, в частности метод перевала. Важным этапом в применении этого метода является нахождение специального перевального контура (интегральная теорема Коши позволяет выбирать контур интегрирования достаточно произвольно), по которому должно осуществляться интегрирование. При этом, как правило, приходится опираться только на интуицию. В данной работе предложен новый подход изучения асимптотических свойств аппроксимаций Эрмита – Паде, опирающийся на теорему Тейлора и эвристические соображения, лежащие в основе методов Лапласа и перевала, а также на полученный нами многомерный аналог тождества ван Россума. Доказанные теоремы обобщают и дополняют известные результаты других авторов.