Для связного графа $G = (V,E)$ с числом вершин не менее 2 подмножество $T$ минимального общего внешне связного монофонического множества $S$ графа $G$ является сильным общим внешне связным монофоническим подмножеством для $S$, если $S$ есть единственное минимальное общее внешне связное монофоническое множество, содержащее $T$. Сильное общее внешне связное монофоническое подмножество для $S$ с минимальным числом элементов есть минимальное сильное общее внешне связное  монофоническое подмножество $S$. Сильное общее внешне связное монофоническое число $f_{tom}(S)$ в $G$ есть число элементов минимального сильного общего внешне связного монофонического подмножества $S$. Сильное общее внешне связное монофоническое число графа $G$ есть $f_{tom}(G) = \min\{f_{tom}(S)\}$, где минимум принимается над всеми минимальными общими внешне связными монофоническими множествами $S$ в $G$. Мы определяем его границы и находим сильное общее внешне связное монофоническое число некоторых классов графов. Показывается, что для каждой пары $a$, $b$ положительных целых с $0 \leq a < b$ и $b \geq a+4$ существует связный граф $G$ такой, что $f_{tom}(G) = a$ и $cm_{to}(G) = b$, где $cm_{to}(G)$ является общим внешне связным монофоническим числом графа.