Для цитирования:
Садекова Е. Х. О приближении ограниченных функций тригонометрическими полиномами в метрике Хаусдорфа // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2023. Т. 23, вып. 2. С. 169-182. DOI: 10.18500/1816-9791-2023-23-2-169-182, EDN: JKUQAS
О приближении ограниченных функций тригонометрическими полиномами в метрике Хаусдорфа
Рассматривается задача о приближении в метрике Хаусдорфа ограниченной (не обязательно однозначной) $2\pi$-периодической функции $f$ тригонометрическими полиномами. Построение приближающего полинома проводится в несколько этапов. Сначала по функции $f$ строится подходящая кусочно-постоянная $2\pi$-периодическая функция $g$, обладающая свойством $\lambda$-монотонности, для которой получены оценки хаусдорфова уклонения от $f$, модуля непрерывности и вариации. Затем по функции $g$ строится $2\pi$-периодическая сплайн-функция $\varphi$ порядка $r$. Получена оценка производной $\varphi^{(r)}$ через модуль непрерывности функции $f$. На последнем этапе используется классическое неравенство Джексона для наилучшего приближения гладкой функции тригонометрическими полиномами. В итоге доказана точная по порядку оценка указанного отклонения функции $f$ в метрике Хаусдорфа с явно выписанной константой. По порядку оценка совпадает с известными результатами Б. Сендова и В. А. Попова, но лучше с точки зрения выбора константы.
- Jackson D. Ueber die Genauigkeit der Ann aherung stetiger Funktionen durch ganze rationale Funktionen gegebenen Grades und trigonometrische Summen gegebener Ordnung. Inaugural–Dissertation. Gottingen, 1911. 99 S.
- Даугавет И. K. Введение в теорию приближений функций. Ленинград : ЛГУ, 1977. 185 с.
- Сендов Б. Х. Апроксимиране на функции с алгебрични полноми по отношение на едне метрика от хаусдорфовки тип // Годишник на Софийския университет. Физико-математически факултет. София : Наука и изкуство, 1962. Т. 55. С. 1–39.
- Долженко E. П., Севастьянов Е. А. О приближениях функций в хаусдорфовой метрике посредством кусочно монотонных (в частности, рациональных) функций // Математический сборник. 1976. Т. 101, № 4. С. 508–541.
- Веселинов В. М. Аппроксимирование функций при помощи тригонометрических полиномов относительно одной метрики хаусдорфовского типа // Mathematica. 1967. Т. 9, № 1. С. 185–199.
- Долженко E. П., Севастьянов Е. А. О зависимости свойств функций от скорости их приближения полиномами // Известия Академии наук СССР. Серия математическая. 1978. Т. 42, № 2. С. 270–304.
- Сендов Б. Х., Попов В. А. Точная асимптотика наилучшего приближения алгебраическими и тригонометрическими полиномами в метрике Хаусдорфа // Математический сборник. 1972. Т. 89, № 1. С. 138–147.
- Sendov B. Kh., Popov V. A. On a generalization of Jackson’s theorem for best approximation // Journal of Approximation Theory. 1973. Vol. 9, iss. 2. P. 102–111. https://doi.org/10.1016/0021-9045(73)90098-1
- Боянов Т. П. Точная асимптотика наилучшего хаусдорфова приближения классов функций с заданным модулем непрерывности // Сердика Българско математическо списание. 1980. Т. 6. С. 84–97.
- 1057 просмотров