Группа называется хопфовой, если она не изоморфна никакой своей собственной факторгруппе, или любой ее эпиморфизм на себя является изоморфизмом, т. е. автоморфизмом. Это свойство было впервые доказано швейцарским математиком Х. Хопфом для фундаментальных групп римановых поверхностей. Результаты настоящей работы концентрируются вокруг проблемы исследования общих свойств хопфовых абелевых групп и описания хопфовых групп в некоторых классах абелевых групп. Среди вопросов, связанных с хопфовыми абелевыми группами, важное место занимает вопрос об изучении свойства хопфовости в таком специфическом классе абелевых групп, как аддитивные группы колец. Аддитивные группы колец — одна из линий, связывающих теорию абелевых групп с теорией колец. По методам исследования и характеру результатов это новое направление, возникшее в середине прошлого века, традиционно относят к теории абелевых групп. При рассмотрении аддитивных групп конкретных классов колец возникают интересные примеры хопфовых абелевых групп. В работе изучается свойство хопфовости в аддитивных группах $E$-колец (называющихся также $E$-группами) и артиновых колец. Доказывается, что аддитивная группа $E$-кольца является хопфовой, а также дается полное описание строения хопфовых аддитивных групп артиновых колец.