Пусть $F$ — произвольное поле характеристики нуль, $M^{(m,k)}(F)$ — матричная супералгебра над $F$. Из теории алгебр с полиномиальными тождествами известно, что супералгебра $M^{(m,k)}(F)$ имеет конечный базис $Z_2$-градуированных тождеств. Поэтому естественным образом возникает задача описания этого базиса. На данный момент времени такого описания нет. Прежде всего, это связано с тем, что отсутствуют какие-либо эффективные методы нахождения обычных или $Z_2$-градуированных тождеств супералгебры $M^{(m,k)}(F)$. Тем не менее при некоторых значениях $m,k$ такие тождества найти все же удается. Для этого используют либо компьютерные вычисления, либо хорошо развитый аппарат теории представлений симметрической группы $S_n$ и общей линейной группы $GL_p$. Более точно для нахождения $Z_2$-градуированных тождеств супералгебры  $M^{(m,k)}(F)$ при малых значениях $m,k$ изучают последовательность $\{\chi_n\}$ характеров представлений либо групп $S_r\times S_{n-r}$, либо группы $GL_p\times GL_p$. Для каждой такой группы строят свое векторное $F$-пространство в свободной алгебре $F\{Y\bigcup Z\}$. При этом относительно действия группы  $S_r\times S_{n-r}$ ($GL_p\times GL_p$) на свое векторное пространство оно имеет структуру левого $S_r\times S_{n-r}$ ($GL_p\times GL_p$) модуля. Однако оказывается, что с вычислительной точки зрения работать с последовательностью характеров представлений группы $GL_p\times GL_p$ предпочтительнее. В данной работе изучается последовательность $GL_p\times GL_p$-характеров $\{\chi_n\}$ матричной супералгебры $M^{(2,2)}(F)$. При этом используется тот факт, что между парами разбиений $(\lambda,\mu)$, где $\lambda\vdash r,\, \mu\vdash n-r$, и неприводимыми $GL_p\times GL_p$-модулями между парами разбиений $(\lambda,\mu)$, где $\lambda\vdash r,\, \mu\vdash n-r$, и неприводимыми $GL_p\times GL_p$-модулями существует взаимнооднозначное соответствие. Кроме того, мы исследуем только те кратности в разложении характера $\chi_n$, которые связаны с неприводимыми $GL_p\times GL_p$-модулями, находящимися в соответствии с парами разбиений $(\lambda,\mu)$ вида $(0,\mu)$. Показано, что если высота $h(\mu)$ диаграммы Юнга $D_\mu$ разбиения $\mu$, участвующего в разложении характера  $\chi_n$, не больше пяти, то кратность $m_{(0,\mu)}$ неприводимого $GL_p\times GL_p$-характера отлична от нуля.