ISSN 1816-9791 (Print)
ISSN 2541-9005 (Online)

#### For citation:

Radayev Y. N. Three-Dimensional Problem of Perfect Plasticity (Kinematic Equations Determining Three-Dimensional Plastic Flow for a Facet and Edge of the Tresca Prism). Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2008, vol. 8, iss. 2, pp. 34-76. DOI: 10.18500/1816-9791-2008-8-2-34-76

Published online:
16.06.2008
Full text:
Language:
Russian
UDC:
539.374

# Three-Dimensional Problem of Perfect Plasticity (Kinematic Equations Determining Three-Dimensional Plastic Flow for a Facet and Edge of the Tresca Prism)

Autors:
Radayev Yuri Nickolaevich, Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics of the Russian Academy of Sciences
Abstract:

In the present study a system of partial differential equations which describes kinematic of three-dimensional plastic flow for the states corresponding to an edge of the Tresca prism is obtained. The system includes the Cauchy equations and the compatibility equations formulated for the displacements and strains increments. These equations are then analysed by the aid of the triorthogonal isostatic coordinate net. The system of kinematic equations is shown correctly determines displacements increments and be of the hyperbolic type. Relations for the displacements increments valid along principal stress lines are derived. Kinematic of plane and axial symmetric plastic flow are separately considered for each case. Kinematic equations for states corresponding to a facet of the Tresca prism which are of the less importance are also examined. Slip kinematic on a surface of maximum shear strain rate in perfectly plastic continuous media is studied. Sliding on the surface is shown can be realized only along asymptotic directions and only within hyperbolic zones of the surface (wherein the Gaussian curvature of the surface is negative). Integrable equations along asymptotic lines of the maximum shear strain rate surface for the jumps of tangent velocities are obtained. Kinematic equations corresponding to elliptic zones on a maximum shear strain rate surface (i.e. if the Gaussian curvature of the surface is positive) are derived and analysed.

Key words:
References:
1. Ивлев Д.Д. О соотношениях, определяющих пластическое течение при условии пластичности Треска, и его обобщениях // Докл. АН СССР. 1959. Т. 124, No 3. С. 546–549; Ивлев Д.Д. Механика пластических сред. Т. I. Теория идеальной пластичности. М.: Физматлит, 2001. С. 15–20.
2. Ивлев Д.Д. О выводе соотношений, определяющих пластическое течение при условии полной пластичности // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1959. No3. С. 137; Ивлев Д.Д. Механика пластических сред. Т. I. Теория идеальной пластичности. М.: Физматлит, 2001. С. 20–21.
3. Радаев Ю.Н. Пространственная задача математической теории пластичности. Самара: Изд-во Самарск. гос. ун-та, 2004. 147 с.
4. Надаи А. Пластичность. Механика пластического состояния вещества. М.; Л.: ОНТИ, 1936. 280 с.; Ильюшин А.А. Пластичность. Ч.1. Упруго-пластические деформации. М.; Л.: Гостехтеоретиздат, 1948. 376 с.
5. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах. М.: Мир, 1964. 308 с.
6. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука, 1998. 528 с.
7. Быковцев Г.И. Избранные проблемные вопросы механики деформируемых сред: Сб. статей. Владивосток: Дальнаука, 2002. С. 153.
8. Malvern L. Introduction to the Mechanics of Continuous Medium. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice–Hall, 1969. 714 p.
9. Washizu K. A note on the conditions of compatibility//J. Math. Phys. 1958. V. 36. P. 306–312.
10. Moriguti S. Fundamental theory of dislocations of elastic bodies // Oyo Sugaku Rikigaku. 1947. V.1. P. 87–90.
11. Положий Г.Н. Уравнения математической физики. М.: Высш. шк., 1964. 560 с.
12. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М.: Мир, 1977. С. 259–261.
13. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966. С. 58–63.
14. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. С. 239–241.
15. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1961. С. 49–54.
16. Радаев Ю.Н. Дополнительные теоремы теорииплоской и осесимметричной задачи математической теории пластичности// Вестн. Самарск. гос. ун-та. Естественнонаучная сер. 2004. No 2(32). С. 41–61.
17. Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Высш.шк., 1969. 608 с.
18. Быковцев Г.И., Мяснянкин Ю.М. О поверхностях скольжения в трехмерных жесткопластических телах // Докл. АН СССР. 1966. Т. 167, No 6. С. 1260–1262.
19. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966. 232 с.
20. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д., Мяснянкин Ю.М. О кинематических соотношениях на поверхностях скольжения в идеальных жесткопластических телах// Прикл. матем. и механика. 1968. Т. 32, вып. 4. С. 623–631.