Известия Саратовского университета. Новая серия.

Серия Математика. Механика. Информатика

ISSN 1816-9791 (Print)
ISSN 2541-9005 (Online)

Для цитирования:

Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Двумерные фигуры Ная для гемитропных микрополярных упругих тел // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2024. Т. 24, вып. 1. С. 109-122. DOI: 10.18500/1816-9791-2024-24-1-109-122, EDN: FKFRHA

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Опубликована онлайн: 
01.03.2024
Полный текст:
скачать
(downloads: 280)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
Механика
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
539.3
DOI: 
10.18500/1816-9791-2024-24-1-109-122
EDN: 
FKFRHA

Двумерные фигуры Ная для гемитропных микрополярных упругих тел

Авторы: 
Мурашкин Евгений Валерьевич, Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского Российской академии наук
Радаев Юрий Николаевич, Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского Российской академии наук
Аннотация: 

В работе рассматривается круг вопросов, связанных с построением двумерных фигур Ная для микрополярных континуумов. Метод двумерного матричного представления тензоров четвертого ранга хорошо известен из монографий по кристаллографии. Такие представления используются для упрощения тензорной записи уравнений анизотропных тел. Указанный метод позволяет представить определяющие тензоры и псевдотензоры четвертого, третьего и второго рангов в виде своеобразных двумерных фигур. В настоящей работе выполнено построение фигур Ная для определяющих гемитропных тензоров четвертого и второго рангов. Получена матричная форма определяющих уравнений гемитропного микрополярного тела в атермическом случае. С помощью свойств псевдоскалярных единиц и их целых степеней выполнена процедура преобразования псевдотензорных основных уравнений микрополярной теории к формулировке в терминах абсолютных тензоров. Основное изложение статьи проводится в терминах абсолютных тензоров в декартовой прямоугольной системе координат.

Ключевые слова: 
упругий потенциал
определяющий тензор
псевдотензорная единица
гемитропный микрополярный континуум
фигура Ная
матричное представление
Благодарности: 
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 23-21-00262 «Связанная термомеханика микрополярных полуизотропных сред»).
Список источников: 
  1. Neuber H. Uber Probleme der Spannungskonzentration im Cosserat – Korper // Acta Mechanica. 1966. Vol. 2. P. 48–69. https://doi.org/10.1007/BF01176729
  2. Neuber H. On the general solution of linear-elastic problems in isotropic and anisotropic Cosserat continua // Applied Mechanics / ed. by H. Gortler. Berlin, Heidelberg : Springer, 1966. P. 153–158. https://doi.org/10.1007/978-3-662-29364-5_16
  3. Nowacki W. Theory of Micropolar Elasticity. Berlin : Springer, 1972. 285 р. https://doi.org/10.1007/978-3-7091-2720-9
  4. Nowacki W. Theory of Asymmetric Elasticity. Oxford : Pergamon Press, 1986. 383 p.
  5. Dyszlewicz J. Micropolar Theory of Elasticity. Berlin, Heidelberg : Springer, 2004. 345 p. https://doi.org/10.1007/978-3-540-45286-7
  6. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Ковариантно постоянные тензоры в пространствах Евклида. Элементы теории // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2022. № 2 (52). С. 106–117. https://doi.org/10.37972/chgpu.2022.52.2.012, EDN: FQVGRK
  7. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Ковариантно постоянные тензоры в пространствах Евклида. Приложения к механике континуума // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2022. № 2 (52). С. 118–127. https://doi.org/10.37972/chgpu.2022.52.2.013, EDN: ESTJSA
  8. Радаев Ю. Н. Правило множителей в ковариантных формулировках микрополярных теорий механики континуума// Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. 2018. Т. 22, № 3. С. 504–517. https://doi.org/10.14498/vsgtu1635, EDN: YOYJQD
  9. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. О двух основных естественных формах потенциала асимметричных тензоров силовых и моментных напряжений в механике гемитропных тел // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2022. № 3 (53). С. 86–100. https://doi.org/10.37972/chgpu.2022.53.3.010, EDN: YOEHQV
  10. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Приведение естественных форм гемитропных энергетических потенциалов к конвенциональным // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2022. № 4 (54). С. 108–115. https://doi.org/10.37972/chgpu.2022.54.4.009, EDN: DTZTJY
  11. Схоутен Я. А. Тензорный анализ для физиков. Москва : Наука, 1965. 456 с.
  12. Сокольников И. С. Тензорный анализ. Теория и применения в геометрии и в механике сплошных сред. Москва : Наука, 1971. 376 c.
  13. Synge J. L., Schild A. Tensor Calculus. New York : Dover Publication Inc., 1978. 324 p.
  14. Das A. J. Tensors: The Mathematics of Relativity Theory and Continuum Mechanics. New York : Springer, 2007. 290 p. https://doi.org/10.1007/978-0-387-69469-6
  15. Гуревич Г. Б. Основы теории алгебраических инвариантов. Москва ; Ленинград : ОГИЗ, ГИТТЛ, 1948. 408 с.
  16. Veblen O., Thomas T. Y. Extensions of relative tensors // Transactions of the American Mathematical Society. 1924. Vol. 26, iss. 3. P. 373–377. https://doi.org/10.2307/1989146
  17. Веблен О. Инварианты дифференциальных квадратичных форм. Москва : Изд-во иностранной литературы, 1948. 140 с.
  18. Радаев Ю. Н., Мурашкин Е. В. Псевдотензорная формулировка механики гемитропных микрополярных сред // Проблемы прочности и пластичности. 2020. Т. 82, № 4. С. 399–412. https://doi.org/10.32326/1814-9146-2020-82-4-399-412, EDN: TODIFV
  19. Murashkin E. V., Radayev Yu. N. On a micropolar theory of growing solids // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. 2020. Т. 24, № 3. С. 424–444. https://doi.org/10.14498/vsgtu1792, EDN: TYGBER
  20. Kovalev V. A., Murashkin E. V., Radayev Yu. N. On the Neuber theory of micropolar elasticity. A pseudotensor formulation // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. 2020. Т. 24, № 4. С. 752–761. https://doi.org/10.14498/vsgtu1799, EDN: IVEASC
  21. Jeffreys H. Cartesian Tensors. Cambridge : Cambridge University Press. 1931. 101 p.
  22. Nye J. F. Physical Properties of Crystals, Their Representation by Tensors and Matrices. Oxford : Clarendon Press, 1957. 322 p.
  23. Wooster W. A. Experimental Crystal Physics. Oxford : Clarendon Press, 1957. 116 p.
  24. Voigt W. Lehrbuch der Kristallphysik (mit Ausschluss der Kristalloptik). Fachmedien, Wiesbaden : Springer, 1966. 979 p.
  25. Standards on Piezoelectric Crystals. Proceedings of the I.R.E. New York : IRE, 1949. 18 p.
  26. Zheng Q. S., Spencer A. J. M. On the canonical representations for Kronecker powers of orthogonal tensors with application to material symmetry problems // International Journal of Engineering Science. 1993. Vol. 31, iss. 4. P. 617–435. https://doi.org/10.1016/0020-7225(93)90054-X
  27. Розенфельд Б. А. Многомерные пространства. Москва : Наука, 1966. 648 с.
  28. Радаев Ю. Н. Тензоры с постоянными компонентами в определяющих уравнениях гемитропного микрополярного тела // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2023. № 5. C. 98–110. EDN: PHNOCG https://doi.org/10.31857/S057232992370006X, EDN: PHNOCG
  29. Murashkin E. V., Radayev Yu. N. A negative weight pseudotensor formulation of coupled hemitropic thermoelasticity // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2023. Vol. 44, iss. 6. P. 2440–2449. https://doi.org/10.1134/S1995080223060392, EDN: PINYDI
  30. Radayev Yu. N., Murashkin E. V. Generalized pseudotensor formulations of the Stokes’ integral theorem // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2022. Т. 22, вып. 2. С. 205–215. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2022-22-2-205-215, EDN: VURXND
  31. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. О согласовании ориентаций тензорных элементов площади в микрополярном континууме, погружаемом во внешнее плоское пространство // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. 2021. Т. 25, № 4. С. 776–786. https://doi.org/10.14498/vsgtu1883, EDN: ZKIAAJ
  32. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. К теории ориентированных тензорных элементов площади микрополярного континуума, погруженного во внешнее плоское пространство // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2022. № 2. C. 3–13. https://doi.org/10.31857/S0572329922020155, EDN: KRUCOL
  33. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Алгебраический алгоритм систематического приведения одноточечных псевдотензоров к абсолютным тензорам // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2022. № 1 (51). С. 17–26. https://doi.org/10.37972/chgpu.2022.51.1.002, EDN: ZJWFGT
  34. Murashkin E. V., Radayev Yu. N. An algebraic algorithm of pseudotensors weights eliminating and recovering // Mechanics of Solids. 2022. Vol. 57, iss. 6. P. 1416–1423. https://doi.org/10.3103/s0025654422060085, EDN: CSZGEL
  35. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Об определяющих псевдоскалярах гемитропных микрополярных сред в инверсных координатных системах // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. 2021. Т. 25, № 3. С. 457–474. https://doi.org/10.14498/vsgtu1870, EDN: XYERLC
Поступила в редакцию: 
18.08.2023
Принята к публикации: 
11.09.2023
Опубликована: 
01.03.2024
  • 616 просмотров