Статья посвящена исследованию непрерывных почти периодических на бесконечности функций, заданных на всей вещественной оси и со значениями в комплексном банаховом пространстве. Рассматриваются различные подпространства исчезающих на бесконечности функций, не обязательно стремящихся к нулю на бесконечности. Вводятся понятия медленно меняющихся и почти периодических на бесконечности функций относительно введенных подпространств. Для почти периодических на бесконечности функций (относительно подпространства) приводятся четыре различных определения. Первое определение (аппроксимационное) основано на аппроксимационной теореме. В классическом варианте, для почти периодических функций, это равномерные замыкания тригонометрических многочленов. В нашем случае коэффициентами Фурье являются медленно меняющиеся на бесконечности функции. Второе определение, являющееся аналогом определения Г. Бора почти периодической функции, основывается на понятии $\varepsilon$-периода. Третье определение соответствует критерию С. Бохнера почти периодичности функций. Четвертое определение приводится в терминах фактор-пространства. Благодаря использованию результатов теории почти периодических векторов в банаховых модулях доказывается, что все четыре определения эквивалентны. Кроме того, доказано, что введенные пространства медленно меняющихся и почти периодических на бесконечности функций относительно различных подпространств исчезающих на бесконечности функций совпадают с пространствами обычных медленно меняющихся и почти периодических на бесконечности функций соответственно. Целесообразность рассмотрения почти периодических на бесконечности функций обусловлена тем, что решения некоторых важных классов дифференциальных и разностных уравнений являются почти периодическими на бесконечности. В статье рассматриваются дифференциальные уравнения с правой частью из различных подпространств исчезающих на бесконечности функций. Получены необходимые и достаточные условия принадлежности ограниченных решений обыкновенных дифференциальных уравнений классу почти периодических на бесконечности функций, и изучено асимптотическое представление решений.