Пусть $C_\natural$ — множество всех чётных непрерывных функций на вещественной оси, $E$ — непустое множество на $(0,+\infty)$, $\mathcal{R} f(x,t)$ — сферическое среднее функции $f\in C_\natural$ с центром в точке $x\in E$ и радиусом $t>0$ относительно свертки Бесселя. Для оператора $\mathcal{R} $ возникают следующие задачи: 1) выяснить, является ли заданное множество $E$ множеством инъективности преобразования $\mathcal{R}$; 2) если $E$ не является множеством инъективности, то охарактеризовать все функции $f\in C_\natural$, такие что $\mathcal{R} f(x,t)=0$ на $E\times(0,+\infty)$; 3) если $E$ является множеством инъективности, то восстановить $f$ по значениям $\mathcal{R} f(x,t)$ на $E\times(0,+\infty)$. В данной работе получено решение задач 1, 2 для произвольного множества $E\subset(0,+\infty)$, а также решение задачи 3 для случая, когда $E$ — конечное множество инъективности. Показано, что функции из ядра преобразования $\mathcal{R}$ можно описать в виде рядов по собственным функциям оператора Бесселя, сходящихся в пространстве распределений. Отсюда следует, в частности, что множество $E$ не является множеством инъективности преобразования $\mathcal{R}$ тогда и только тогда, когда оно содержится во множестве нулей некоторой собственной функции оператора Бесселя. Кроме того, если $E=\{r_1,\ldots,r_m\}$ — конечное множество инъективности, найден класс формул обращения преобразования $\mathcal{R}$, зависящих от набора полиномов $p_1,\ldots,p_m$. При этом предполагается, что $p_1,\ldots,p_m$ имеют достаточно высокую степень и удовлетворяют некоторым условиям, связанным с нулями преобразований Фурье – Бесселя мер Дирака с носителями в точках $r_1, \ldots, r_m$.