В настоящей работе исследуется класс нелинейных интегральных уравнений на полуоси с некомпактным оператором Гаммерштейна. Предполагается, что ядро уравнения экспоненциально убывает на положительной части числовой оси. Уравнения такого рода возникают в различных областях естествознания. В частности, такие уравнения встречаются в теории переноса излучения в спектральных линиях, в математической теории пространственно-временного распространения эпидемии, в кинетической теории газов. Отличительной особенностью рассматриваемого класса уравнений являются некомпактность соответствующего нелинейного интегрального оператора Гаммерштейна в пространстве существенно ограниченных функций на положительной части числовой прямой и условие критичности (т. е. наличие тривиального нулевого решения). При определенных ограничениях на нелинейность доказывается существование положительного ограниченного и суммируемого решения. Исследуется также асимптотическое поведение решения на бесконечности. Доказательство теоремы существования носит конструктивный характер. Сперва решая определенное простое характеристическое уравнение, строится нулевое приближение в рассматриваемых итерациях. Затем изучается специальное вспомогательное нелинейное интегральное уравнение, решение которого строится с помощью простых последовательных приближений. После этого доказывается, что введенные нами итерации монотонно возрастают и сверху ограничены решением вышеотмеченного вспомогательного интегрального уравнения. Далее, используя соответствующие условия на нелинейность и на ядро, доказывается, что предел этих итераций является решением первоначального уравнения и экспоненциально убывает на бесконечности. При дополнительном ограничении на нелинейность устанавливается единственность построенного решения в определенном классе измеримых функций. В конце работы приводятся конкретные примеры ядра и нелинейности прикладного характера, для которых автоматически выполняются все условия доказанной теоремы.