Известия Саратовского университета. Новая серия.

Серия Математика. Механика. Информатика

ISSN 1816-9791 (Print)
ISSN 2541-9005 (Online)


Для цитирования:

Хачатрян Х. А., Петросян А. С. О разрешимости одного класса нелинейных интегральных уравнений Гаммерштейна на полуоси // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия : Математика. Механика. Информатика. 2022. Т. 22, вып. 2. С. 169-179. DOI: 10.18500/1816-9791-2022-22-2-169-179

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Опубликована онлайн: 
31.05.2022
Полный текст:
(downloads: 349)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
517.968.4

О разрешимости одного класса нелинейных интегральных уравнений Гаммерштейна на полуоси

Авторы: 
Хачатрян Хачатур Агавардович, Ереванский государственный университет
Петросян Айкануш Самвеловна, Национальный аграрный университет Армении
Аннотация: 

В настоящей работе исследуется класс нелинейных интегральных уравнений на полуоси с некомпактным оператором Гаммерштейна. Предполагается, что ядро уравнения экспоненциально убывает на положительной части числовой оси. Уравнения такого рода возникают в различных областях естествознания. В частности, такие уравнения встречаются в теории переноса излучения в спектральных линиях, в математической теории пространственно-временного распространения эпидемии, в кинетической теории газов. Отличительной особенностью рассматриваемого класса уравнений являются некомпактность соответствующего нелинейного интегрального оператора Гаммерштейна в пространстве существенно ограниченных функций на положительной части числовой прямой и условие критичности (т. е. наличие тривиального нулевого решения). При определенных ограничениях на нелинейность доказывается существование положительного ограниченного и суммируемого решения. Исследуется также асимптотическое поведение решения на бесконечности. Доказательство теоремы существования носит конструктивный характер. Сперва решая определенное простое характеристическое уравнение, строится нулевое приближение в рассматриваемых итерациях. Затем изучается специальное вспомогательное нелинейное интегральное уравнение, решение которого строится с помощью простых последовательных приближений. После этого доказывается, что введенные нами итерации монотонно возрастают и сверху ограничены решением вышеотмеченного вспомогательного интегрального уравнения. Далее, используя соответствующие условия на нелинейность и на ядро, доказывается, что предел этих итераций является решением первоначального уравнения и экспоненциально убывает на бесконечности. При дополнительном ограничении на нелинейность устанавливается единственность построенного решения в определенном классе измеримых функций. В конце работы приводятся конкретные примеры ядра и нелинейности прикладного характера, для которых автоматически выполняются все условия доказанной теоремы.

Благодарности: 
Исследование выполнено при финансовой поддержке Комитета по науке РА в рамках научного проекта № 21T-1A047.
Список источников: 
  1. Енгибарян Н. Б. Об одной задаче нелинейного переноса излучения // Астрофизика. 1966. Т. 2, № 1. С. 31–36.
  2. Феллер Ф. Введение в теорию вероятностей и ее приложения : в 2 т. Т. 2. Москва : Мир, 1967. 765 с.
  3. Cercignani C. Theory and Application of the Boltzmann Equation. Edinburgh ; London : Scottish Academic Press, 1975. 415 p.
  4. Хачатрян А. Х., Хачатрян Х. А. Качественные различия решений для одной модели уравнения Больцмана в линейном и нелинейном случаях // Теоретическая и математическая физика. 2012. Т. 173, № 3. С. 497–504. https://doi.org/10.4213/tmf6965
  5. Коган М. Н. Динамика разреженного газа. Москва : Наука, 1967. 440 с.
  6. Diekmann O. Thresholds and travelling waves for the geographical spread of infection // Journal of Mathematical Biology. 1978. Vol. 6, iss. 2. P. 109–130. https://doi.org/10.1007/BF02450783
  7. Diekmann O. Run for your life. A note on the asymptotic speed of propogation of an epidemic // Journal of Differential Equations. 1979. Vol. 33, iss. 1. P. 58–73. https://doi.org/10.1016/0022-0396(79)90080-9
  8. Сергеев А. Г., Хачатрян Х. А. О разрешимости одного класса нелинейных интегральных уравнений в задаче распространения эпидемии // Труды Московского математического общества. 2019. Т. 80, вып. 1. С. 113–131.
  9. Хачатрян Х. А. Достаточные условия разрешимости интегрального уравнения Урысона на полуоси // Доклады Академии наук. 2009. Т. 425, № 4. С. 462–465.
  10. Хачатрян Х. А. Об одном классе интегральных уравнений типа Урысона с сильной нелинейностью // Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2012. Т. 76, № 1. С. 173–200. https://doi.org/10.4213/im5402
  11. Хачатрян Х. А. Об одном классе нелинейных интегральных уравнений с некомпактным оператором // Известия НАН Армении. Математика. 2011. Т. 46, № 2. С. 71–86.
  12. Хачатрян Х. А. О положительной разрешимости некоторых классов нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштейна на полуоси и на всей прямой // Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2015. Т. 79, № 2. С. 205–224. https://doi.org/10.4213/im8245
  13. Арабаджян Л. Г. Решения одного интегрального уравнения типа Гаммерштейна // Известия НАН Армении. Математика. 1997. Т. 32, № 1. С. 21–28.
  14. Владимиров В. С., Волович Я. И. О нелинейном уравнении динамики в теории p-адической струны // Теоретическая и математическая физика. 2004. Т. 138, № 3. С. 355–368. https://doi.org/10.4213/tmf36
  15. Жуковская Л. В. Итерационный метод решения нелинейных интегральных уравнений, описывающих роллинговые решения в теории струн // Теоретическая и математическая физика. 2006. Т. 146, № 3. С. 402–409. https://doi.org/10.4213/tmf2043
  16. Хачатрян Х. А. О разрешимости некоторых классов нелинейных интегральных уравнений в теории p-адической струны // Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2018. Т. 82, № 2. С. 172–193. https://doi.org/10.4213/im8580
  17. Рудин У. Функциональный анализ. Москва : Мир, 1975. 443 с.
  18. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. 5-е изд. Москва : Наука, 1981. 544 с.
Поступила в редакцию: 
08.08.2021
Принята к публикации: 
21.09.2021
Опубликована: 
31.05.2022