Известия Саратовского университета. Новая серия.

Серия Математика. Механика. Информатика

ISSN 1816-9791 (Print)
ISSN 2541-9005 (Online)


Для цитирования:

Prokhorov D. V., Zakharov A. M., Zherdev A. V. Solutions of the Loewner equation with combined driving functions [Прохоров Д. В., Захаров А. М., Жердев А. В. О решениях уравнения Лёвнера с составными управляющими функциями] // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия : Математика. Механика. Информатика. 2021. Т. 21, вып. 3. С. 317-325. DOI: 10.18500/1816-9791-2021-21-3-317-325


Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Опубликована онлайн: 
31.08.2021
Полный текст:
(downloads: 62)
Язык публикации: 
английский
Рубрика: 
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
517.54

Solutions of the Loewner equation with combined driving functions
[О решениях уравнения Лёвнера с составными управляющими функциями]

Авторы: 
Прохоров Дмитрий Валентинович, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского
Захаров Андрей Михайлович, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского
Жердев Андрей Владимирович, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского
Аннотация: 

В статье рассматривается хордовое дифференциальное уравнение Лёвнера с управлением, заданным разными функциями на частях отрезка интегрирования. Получены точные решения в явном или неявном виде для кусочно-постоянной управляющей функции, а также управления, заданного как комбинация постоянной функции и квадратного корня. Для обоих случаев дано аналитическое и геометрическое описания генерируемых разрезов. Ранее Кагер, Ниенуис и Каданов проинтегрировали хордовое дифференциальное уравнение Лёвнера с постоянной управляющей функцией и с управляющей функцией в виде квадратного корня. В первом случае уравнение генерирует в верхней полуплоскости прямолинейный разрез, ортогональный к вещественной оси $\mathbb R$. Во втором случае прямолинейный разрез образует некоторый угол с осью $\mathbb R$, зависящий от коэффициента при квадратном корне. В настоящей статье обобщенное дифференциальное уравнение Лёвнера генерирует более сложные множества, состоящие из трех прямолинейных или криволинейных фрагментов, которые могут пересекаться или не иметь общих точек. Аналитические результаты статьи сопровождаются геометрическими интерпретациями.

Благодарности: 
Работа выполнена при поддержке Программы развития регионального научно-образовательного математического центра «Математика технологий будущего» (проект № 075-02-2021-1399).
Список источников: 
  1. Lowner K. Untersuchungen uber schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreses. I. Mathematische Annalen, 1923, vol. 89, iss. 1–2, pp. 103–121 (in Germany). https://doi.org/10.1007/BF01448091
  2. Lawler G. F. Conformally Invariant Processes in the Plane. Princeton, American Mathematical Society, 2005. 242 p. (Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 114).
  3. Kager W., Nienhuis B., Kadanoff L. P. Exact solutions for Loewner evolutions. Journal of Statistical Physics, 2004, vol. 115, iss. 3–4, pp. 805–822. https://doi.org/10.1023/B:JOSS.0000022380.93241.24
  4. Lind J. R. A sharp condition for the Loewner equation to generate slits. Annales Academiæ Scientiarum Fennicæ. Mathematica, 2005, vol. 30, iss. 1, pp. 143–158.
  5. Prokhorov D. V., Zakharov A. M. Integrability of a partial case of the Loewner equation. Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2010, vol. 10, iss. 2, pp. 19–23 (in Russian). https://doi.org/10.18500/1816-9791-2010-10-2-19- 23
  6. Prokhorov D., Vasil’ev A. Singular and tangent slit solutions to the Lowner equation. In: Gustafsson B., Vasil’ev A., eds. Analysis and Mathematical Physics. Trends in Mathematics. Birkhauser Basel, 2009, pp. 455–463. https://doi.org/10.1007/978-3-7643-9906-1_23
  7. Lau K. S., Wu H. H. On tangential slit solution of the Loewner equation. Annales Academiæ Scientiarum Fennicæ. Mathematica, 2016, vol. 41, pp. 681–691. http://dx.doi.org/10.5186/aasfm.2016.4142
  8. Wu H. H., Jiang Y. P., Dong X. H. Perturbation of the tangential slit by conformal maps. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2018, vol. 464, iss. 2, pp. 1107–1118. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2018.04.042
  9. Wu H. H. Exact solutions of the Loewner equation. Analysis and Mathematical Physics, 2020, vol. 10, iss. 4, article 59. https://doi.org/10.1007/s13324-020-00403-1
Поступила в редакцию: 
22.03.2020
Принята к публикации: 
27.04.2021
Опубликована: 
31.08.2021