Для цитирования:
Prokhorov D. V., Zakharov A. M., Zherdev A. V. Solutions of the Loewner equation with combined driving functions [Прохоров Д. В., Захаров А. М., Жердев А. В. О решениях уравнения Лёвнера с составными управляющими функциями] // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия : Математика. Механика. Информатика. 2021. Т. 21, вып. 3. С. 317-325. DOI: 10.18500/1816-9791-2021-21-3-317-325, EDN: PYMVOV
Solutions of the Loewner equation with combined driving functions
[О решениях уравнения Лёвнера с составными управляющими функциями]
В статье рассматривается хордовое дифференциальное уравнение Лёвнера с управлением, заданным разными функциями на частях отрезка интегрирования. Получены точные решения в явном или неявном виде для кусочно-постоянной управляющей функции, а также управления, заданного как комбинация постоянной функции и квадратного корня. Для обоих случаев дано аналитическое и геометрическое описания генерируемых разрезов. Ранее Кагер, Ниенуис и Каданов проинтегрировали хордовое дифференциальное уравнение Лёвнера с постоянной управляющей функцией и с управляющей функцией в виде квадратного корня. В первом случае уравнение генерирует в верхней полуплоскости прямолинейный разрез, ортогональный к вещественной оси $\mathbb R$. Во втором случае прямолинейный разрез образует некоторый угол с осью $\mathbb R$, зависящий от коэффициента при квадратном корне. В настоящей статье обобщенное дифференциальное уравнение Лёвнера генерирует более сложные множества, состоящие из трех прямолинейных или криволинейных фрагментов, которые могут пересекаться или не иметь общих точек. Аналитические результаты статьи сопровождаются геометрическими интерпретациями.
- Lowner K. Untersuchungen uber schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreses. I. Mathematische Annalen, 1923, vol. 89, iss. 1–2, pp. 103–121 (in Germany). https://doi.org/10.1007/BF01448091
- Lawler G. F. Conformally Invariant Processes in the Plane. Princeton, American Mathematical Society, 2005. 242 p. (Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 114).
- Kager W., Nienhuis B., Kadanoff L. P. Exact solutions for Loewner evolutions. Journal of Statistical Physics, 2004, vol. 115, iss. 3–4, pp. 805–822. https://doi.org/10.1023/B:JOSS.0000022380.93241.24
- Lind J. R. A sharp condition for the Loewner equation to generate slits. Annales Academiæ Scientiarum Fennicæ. Mathematica, 2005, vol. 30, iss. 1, pp. 143–158.
- Prokhorov D. V., Zakharov A. M. Integrability of a partial case of the Loewner equation. Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics, 2010, vol. 10, iss. 2, pp. 19–23 (in Russian). https://doi.org/10.18500/1816-9791-2010-10-2-19- 23
- Prokhorov D., Vasil’ev A. Singular and tangent slit solutions to the Lowner equation. In: Gustafsson B., Vasil’ev A., eds. Analysis and Mathematical Physics. Trends in Mathematics. Birkhauser Basel, 2009, pp. 455–463. https://doi.org/10.1007/978-3-7643-9906-1_23
- Lau K. S., Wu H. H. On tangential slit solution of the Loewner equation. Annales Academiæ Scientiarum Fennicæ. Mathematica, 2016, vol. 41, pp. 681–691. http://dx.doi.org/10.5186/aasfm.2016.4142
- Wu H. H., Jiang Y. P., Dong X. H. Perturbation of the tangential slit by conformal maps. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2018, vol. 464, iss. 2, pp. 1107–1118. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2018.04.042
- Wu H. H. Exact solutions of the Loewner equation. Analysis and Mathematical Physics, 2020, vol. 10, iss. 4, article 59. https://doi.org/10.1007/s13324-020-00403-1
- 1486 просмотров