Рассматривается конечномерная задача о равномерной оценке (наилучшем приближении) в метрике Хаусдорфа выпуклого тела шаром произвольной нормы с фиксированным радиусом. Известно, что в случае, когда оцениваемое тело и шар используемой нормы являются многогранниками, данная задача может быть сведена к задаче линейного программирования. Это позволяет предложить метод получения приближенного решения задачи на основе предварительной аппроксимации тела и единичного шара нормы многогранниками. В связи с этим в статье получена оценка устойчивости (чувствительности) оптимального значения целевой функции задачи к погрешности аппроксимации оцениваемого выпуклого тела и единичного шара используемой нормы.