Известия Саратовского университета. Новая серия.

Серия Математика. Механика. Информатика

ISSN 1816-9791 (Print)
ISSN 2541-9005 (Online)


Для цитирования:

Тебякин А. Д., Крысько А. В., Жигалов М. В., Крысько В. А. Упругопластическое деформирование нанопластин. Метод вариационных итераций (расширенный метод Канторовича) // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия : Математика. Механика. Информатика. 2022. Т. 22, вып. 4. С. 494-505. DOI: 10.18500/1816-9791-2022-22-4-494-505

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Опубликована онлайн: 
30.11.2022
Полный текст:
(downloads: 175)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
539.3
EDN: 
KFJVBH

Упругопластическое деформирование нанопластин. Метод вариационных итераций (расширенный метод Канторовича)

Авторы: 
Тебякин Алексей Дмитриевич, Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской академии наук
Крысько Антон Вадимович, Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской академии наук
Жигалов Максим Викторович, Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской академии наук
Крысько Вадим Анатольевич, Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской академии наук
Аннотация: 

В работе построена математическая модель по деформационной теории пластичности исследования напряженно-деформированного состояния нанопластин Кирхгофа (наноэффекты учитываются по модифицированной моментной теории упругости). Разработан экономичный и корректный итерационный метод расчета напряженно-деформированного состояния нанопластин — метод вариационных итераций (расширенный метод Канторовича).  По сравнению с методами Бубнова – Галеркина или Ритца он не требует задания системы аппроксимирующих функций, удовлетворяющих граничным условиям, так как  на каждой итерации строит систему аппроксимирующих функций, которая вытекает из решения обыкновенного дифференциального уравнения после применения процедуры Канторовича. Корректность метода обеспечена теоремами сходимости метода переменных параметров упругости И. И. Воровича,  Ю. П. Красовского и теоремами о сходимости метода вариационных итераций  В. А. Крысько,  В. Ф. Кириченко. Кроме того, достоверность решений для упругих нанопластин Кирхгофа, полученных с помощью метода вариационных итераций, обеспечивается сопоставлением с точным решением Навье и решениями по методам Бубнова – Галеркина в высших приближениях, конечных разностей и конечных элементов. С точки зрения затрат машинного времени разработанный метод и методология расчета упруго-пластического деформирования нанопластин Кирхгофа  являются более эффективными  по сравнению с методами Бубнова – Галеркина в высших приближениях, конечных разностей, Канторовича – Власова, Вайндинера и особенно с методом конечных элементов. В статье также проведено исследование влияния нанокоэффициента, типов зависимостей интенсивности деформаций — интенсивности напряжений на упругопластическое поведение нанопластины.

Благодарности: 
Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (проект № 22-11-00160).
Список источников: 
  1. Kiener D., Motz C., Schobert T., Jenko M., Dehm G. Determination of mechanical properties of copper at the micron scale // Advanced Engineering Materials. 2006. Vol. 8, iss. 11. P. 1119–1125. https://doi.org/10.1002/adem.200600129
  2. Huber N., Nix W., Gao H. Identification of elastic-plastic material parameters from pyramidal indentation of thin films // Proceedings of the Royal Society of London. Series A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 2002. Vol. 458. P. 1593–1620. https://doi.org/10.1098/rspa.2001.0927
  3. Ristinmaa M., Vecchi M. Use of couple-stress theory in elasto-plasticity // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1996. Vol. 136, iss. 3–4. P. 205–224. https://doi.org/10.1016/0045-7825(96)00996-6
  4. Darvishvand A., Zajkani A. Strain gradient micromechanical modeling of substrate–supported crystalline microplates subjected to permanent in-plane and out-of-plane tractions // Mechanics Based Design of Structures and Machines. 2021. Iss. 7. P. 969–985. https://doi.org/10.1080/15397734.2019.1705167
  5. Darvishvand A., Zajkani A. Comparative modeling of power hardening micro-scale metallic plates based on lower and higher-order strain gradient plasticity theories // Metals and Materials International. 2021. Vol. 27, iss. 6. P. 1392–1402. https://doi.org/10.1007/s12540-019-00524-8
  6. Tun M. A. Plastic buckling of moderately thick annular plates // International Journal of Structural Stability and Dynamics. 2005. Vol. 5, iss. 3. P. 337–357. https://doi.org/10.1142/S0219455405001611
  7. Lanzoni L., Radi E., Nobili A. Ultimate carrying capacity of elastic-plastic plates on a Pasternak foundation // Journal of Applied Mechanics. 2014. Vol. 81, iss. 5. 051013-1. https://doi.org/10.1115/1.4026190
  8. Schunck T. E. Zur Knickfestigkeit schwach gekrummter zylindrischer Schalen // Ingenieur-Archiv. 1933. Bd. 4. S. 394–414. https://doi.org/10.1007/BF02081563
  9. Жуков Е. Е. Вариационный прием последовательных приближений к расчету тонких прямоугольных плит // Расчет тонкостенных пространственных конструкций / под ред. А. Р. Ржаницына. Москва : Стройиздат, 1964. С. 27–35.
  10. Kerr A. D. An extended Kantorovich method for solution of eigenvalue problem // International Journal of Solids and Structures. 1969. Vol. 5, iss. 6. P. 559–572. https://doi.org/10.1016/0020-7683(69)90028-6
  11. Yuan S., Jin Y. Computation of elastic buckling loads of rectangular thin plates using the extended Kantorovich method // Composite Structures. 1998. Vol. 66, iss. 6. P. 861–867. https://doi.org/10.1016/S0045-7949(97)00111-9
  12. Shufrin I., Rabinovitch O., Eisenberger M. Buckling of symmetrically laminated rectangular plates with general boundary conditions — a semi analytical approach // Composite Structures. 2008. Vol. 82, iss. 4. P. 521–537. https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2007.02. 003
  13. Eisenberger M., Shufrin I. The extended Kantorovich method for vibration analysis of plates // Analysis and Design of Plated Structures / eds. by N. E. Shanmugam, Chieng Ming Wang. Cambridge : Woodhead Publishing, 2007. Vol. 1. Stability. Р. 192–218. https://doi.org/10.1533/9781845692292.192
  14. Awrejcewicz J., Krysko-jr. V. A., Kalutsky L. A., Zhigalov M. V., Krysko V. A. Review of the methods of transition from partial to ordinary differential equations: from macroto nano-structural dynamics // Archives of Computational Methods in Engineering. 2021. Vol. 28. P. 4781–4813. https://doi.org/10.1007/s11831-021-09550-5
  15. Кириченко В. Ф., Крысько В. А. Метод вариационных итераций в теории пластин и его обоснование // Прикладная механика. 1981. Т. 17, вып. 4. С. 71–76.
  16. Krysko A. V., Awrejcewicz J., Zhigalov M. V., Krysko V. A. On the contact interaction between two rectangular plates // Nonlinear Dynamics. 2016. Vol. 85. P. 2729–2748. https://doi.org/10.1007/s11071-016-2858-2
  17. Awrejcewicz J., Krysko V. A., Zhigalov M. V., Krysko A. V. Contact interaction of two rectangular plates made from different materials with an account of physical nonlinearity // Nonlinear Dynamics. 2018. Vol. 91. P. 1191–1211. https://doi.org/10.1007/s11071-017-3939-6
  18. Awrejcewicz J., Krysko-jr V. A., Kalutsky L. A., Krysko V. A. Computing static behavior of flexible rectangular von Karman plates in fast and reliable way // International Journal of Non-Linear Mechanics. 2022. Vol. 146. 104162. https://doi.org/10.1016/j.ijnonlinmec.2022.104162
  19. Awrejcewicz J., Krysko A. V., Smirnov A., Kalutsky L. A., Zhigalov M. V., Krysko V. A. Mathematical modeling and methods of analysis of generalized functionally gradient porous nanobeams and nanoplates subjected to temperature field // Meccanica. 2022. Vol. 57. P. 1591–1616. https://doi.org/10.1007/s11012-022-01515-7
  20. Yang F., Chong A. C. M., Lam D. C. C., Tong P. Couple stress based strain gradient theory for elasticity // International Journal of Solids and Structures. 2002. Vol. 39, iss. 10. P. 2731–2743. https://doi.org/10.1016/S0020-7683(02)00152-X
  21. Ворович И. И., Красовский Ю. П. О методе упругих решений // Доклады Академии наук СССР. 1959. Т. 126, вып. 4. С. 740–743.
  22. Prandtl L. Ein Gedankenmodell zur kinetischen Theorie der festen Korper // ZAMM: Zeitschrift Fur Angewandte Mathematik Und Mechanik. 1928. Bd. 8, Ht. 2. S. 85–106. https://doi.org/10.1002/zamm.19280080202
  23. Ohashi Y., Murakami S. The elasto-plastic bending of a clamped thin circular plate // Applied Mechanics / ed. H. Gortler. Berlin, Heidelberg : Springer, 1966. Vol. 1. P. 212–223. https://doi.org/10.1007/978-3-662-29364-5_25
  24. Температурный коэффициент линейного расширения стали // Thermalinfo. URL: http://thermalinfo.ru/svojstva-materialov/metally-i-splavy/temperaturnyj-koeffitsient-linejnogo-rasshireniya-stali (дата обращения: 03.08.2022).
  25. Биргер И. А. Некоторые общие методы решения задач теории пластичности // Прикладная математика и механика. 1951. Т. 15, вып. 6. С. 765–770.
  26. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. Москва : Физматгиз, 1962. 708 с.
  27. Власов В. В. Общая теория оболочек. Москва : Гостехиздат, 1949. 784 с.
  28. Вайндинер А. И. Об одной новой форме рядов Фурье и выборе наилучших полиномов Фурье // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1967. Т. 7, вып. 1. С. 177–185. https://doi.org/10.1007/978-3-662-29364-5_25
Поступила в редакцию: 
08.08.2022
Принята к публикации: 
08.09.2022
Опубликована: 
30.11.2022