Работа посвящена исследованию одного класса бесконечных систем нелинейных двумерных  уравнений с выпуклой и монотонной нелинейностью. Данный класс нелинейных систем уравнений имеет как теоретическую, так и практическую значимость, в частности, при изучении дискретных аналогов задач  динамической теории $p$-адических открыто-замкнутых струн, кинетической теории газов, математической биологии при исследовании пространственно-временного распределения эпидемии. Доказаны теоремы существования и единственности положительного решения в определённом классе неотрицательных и ограниченных матриц. Выявлены некоторые качественные свойства решения. Доказанные результаты дополняют и обобщают некоторые ранее полученные авторами утверждения. Приведены наглядные примеры соответствующих матриц и нелинейностей (в том числе и прикладного характера), удовлетворяющих всем условиям сформулированных теорем.