В настоящей работе рассматривается функция Больцано f(x), которая является непрерывной и недифференцируемой. Данная функция определяется как предел последовательности ломаных и для ее построения используются вспомогательные функции, представляющие собой ломаные. В работе получена оценка модуля непрерывности функции Больцано. Из полученной оценки следует, что данная функция принадлежит классу Липшица порядка 1/2 с константой M = 6, т.е. f(x) ∈ 6Lip 1/2. Для функции Больцано при a = 1 и h = 1 построена последовательность многочленов Бернштейна и получена оценка погрешности приближения функции Больцано многочленами Бернштейна.