Работа является естественным продолжением ранних исследований авторов при анализе условий слабой разрешимости одномерных начально-краевых задач с изменяющейся на графе (сети) пространственной переменной  в направлении увеличения размерности $n$ ($n>1$) сетеподобной области изменения этой переменной. Первые результаты в указанном направлении (при $n=3$) были получены одним из авторов для линеаризованной системы Навье–Стокса, в дальнейшем — для существенно более сложной нелинейной системы Навье–Стокса. При этом анализ проводился классическим путем, используя априорные оценки норм слабых решений в соболевских пространствах функций. В данном исследовании (при произвольном $n>1$) предлагается другой подход получения условий слабой разрешимости линейных начально-краевых задач — редукция исходной задачи к дифференциально-разностной системе, идея которой восходит к методу Е. Роте полудискретизации начально-краевой задачи по временной переменной. Рассматриваются дифференциально-разностная система уравнений с весовыми параметрами и соответствующая ей  трехслойная дифференциально-разностная схема (множество схем). Полученная система является аналогом начально-краевой задачи для уравнения параболического типа с пространственной переменной, изменяющейся в сетеподобной области $n$-мерного евклидового пространства. Основная цель — установление области изменения весовых параметров, гарантирующей устойчивость дифференциально-разностной схемы (непрерывность по исходным данным задачи), получение оценок операторных норм слабых решений схемы, построение последовательности решений дифференциально-разностной системы, слабо компактной в пространстве ее состояний. Последнее является важным элементом при использовании численных методов анализа широкого класса прикладных многомерных задач и построения вычислительных алгоритмов для отыскания приближений их решений. Результаты применимы в прикладных задачах оптимизации, возникающих при моделировании сетевых процессов переноса сплошных сред с помощью формализмов дифференциально-разностных систем.