Известия Саратовского университета. Новая серия.

Серия Математика. Механика. Информатика

ISSN 1816-9791 (Print)
ISSN 2541-9005 (Online)

Для цитирования:

Sevastianov L. A., Lovetskiy K. P., Kulyabov D. S., Sergeev S. V. Numerical solution of first-order exact differential equations by the integrating factor method [Севастьянов Л. А., Ловецкий К. П., Кулябов Д. С., Сергеев С. В. Численное решение дифференциальных уравнений первого порядка в полных дифференциалах методом интегрирующего множителя] // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2024. Т. 24, вып. 4. С. 512-525. DOI: 10.18500/1816-9791-2024-24-4-512-525, EDN: ILSNIX

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Опубликована онлайн: 
25.11.2024
Полный текст:
скачать
(downloads: 48)
Язык публикации: 
английский
Рубрика: 
Математика
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
517.98
DOI: 
10.18500/1816-9791-2024-24-4-512-525
EDN: 
ILSNIX

Numerical solution of first-order exact differential equations by the integrating factor method
[Численное решение дифференциальных уравнений первого порядка в полных дифференциалах методом интегрирующего множителя]

Авторы: 
Севастьянов Леонид Антонович, Российский университет дружбы народов имени Патриса Лумумбы
Ловецкий Константин Петрович, Российский университет дружбы народов имени Патриса Лумумбы
Кулябов Дмитрий Сергеевич, Российский университет дружбы народов имени Патриса Лумумбы
Сергеев Степан Викторович, Российский университет дружбы народов имени Патриса Лумумбы
Аннотация: 

Предложен численный алгоритм решения дифференциальных уравнений в полных дифференциалах, основанный как на эффективном вычислении интегрирующих множителей, так и на «новом» численном методе интегрирования функций. Устойчивое определение интегрирующих множителей обеспечивается за счет использования чебышевской интерполяции искомых функций и проведения расчетов на сетках Гаусса – Лобатто, обеспечивающих дискретную ортогональность чебышевских матриц. После чего процедура интегрирования осуществляется с помощью чебышевских матриц интегрирования. Интегрирующий множитель и итоговый потенциал решения обыкновенного дифференциального уравнения представляются в виде интерполяционных полиномов, зависящих от ограниченного количества численно восстанавливаемых коэффициентов разложения.

Ключевые слова: 
спектральный метод
коллокация
интегрирующие множители
матрицы интегрирования
восстановление коэффициентов
обратная задача
Благодарности: 
Работа выполнена в рамках проекта № 021934-0-000 Системы грантовой поддержки научных проектов РУДН (Ловецкий К. П.) и при поддержке Программы стратегического академического лидерства РУДН (Кулябов Д. С., Сергеев С. В.). Работа Севастьянова Л. А. поддержана Российским научным фондом (проект № 20-11-20257).
Список источников: 
  1. Polyanin A. D., Zaitsev V. F. Handbook of ordinary differential equations: Exact solutions, methods, and problems. New York, Chapman Hall/CRC, 2017. 1496 p. https://doi.org/10.1201/9781315117638
  2. Boas M. L. Mathematical methods in the physical sciences. John Wiley & Sons, Inc., 2005. 864 p.
  3. Soifer V. A., Kotlar V., Doskolovich L. Iteractive methods for diffractive optical elements computation. London, CRC Press, 2014. 244 p. https://doi.org/10.1201/9781482272918
  4. Doskolovich L. L., Kharitonov S. I., Petrova O. I., Soifer V. A. A gradient method for design of multiorder varied-depth binary diffraction gratings. Optics and Lasers in Engineering, 1998, vol. 29, iss. 3–4, pp. 249–259. https://doi.org/10.1016/S0143-8166(97)00113-9
  5. Doskolovich L. L., Mingazov A. A., Bykov D. A., Andreev E. S., Bezus E. A. Variational approach to calculation of light field eikonal function for illuminating a prescribed region. Optics Express, 2017, vol. 25, iss. 22, pp. 26378–26392. https://doi.org/10.1364/OE.25.026378
  6. Doskolovich L. L., Bykov D. A., Andreev E. S., Bezus E. A., Oliker V. Designing double freeform surfaces for collimated beam shaping with optimal mass transportation and linear assignment problems. Optics Express, 2018, vol. 26, iss. 19, pp. 24602–24613. https://doi.org/10.1364/OE.26.024602
  7. Wu R., Xu L., Liu P., Zhang Y., Zheng Z., Li H., Liu X. Freeform illumination design: A nonlinear boundary problem for the elliptic Monge–Ampere equation. Optics Letters, 2013, vol. 38, iss. 2, pp. 229–231. https://doi.org/10.1364/OL.38.000229
  8. Wu R., Benitez P., Zhang Y., Minano J. C. Influence of the characteristics of a light source and target on the Monge–Ampere equation method in freeform optics design. Optics Letters, 2005, vol. 39, iss. 3, pp. 634–637. https://doi.org/10.1364/OL.39.000634
  9. Doskolovich L. L., Kazanskiy N. L., Kharitonov S. I., Perlo P., Bernard S. Designing reflectors to generate a line-shaped directivity diagram. Journal of Modern Optics, 2005, vol. 52, iss. 11, pp. 1529–1536. https://doi.org/10.1080/09500340500058082
  10. Doskolovich L. L., Kazanskiy N. L., Bernard S. Designing a mirror to form a line-shaped directivity diagram. Journal of Modern Optics, 2007, vol. 54, iss. 4, pp. 589–597. https://doi.org/10.1080/0950034060102186
  11. Doskolovich L. L., Andreev E. S., Moiseev M. A. On optical surface reconstruction from a prescribed source-target mapping. Computer Optics, 2016, vol. 40, iss. 3, pp. 338–345 (in Russian). https://doi.org/10.18287/2412-6179-2016-40-3-338-345
  12. Doskolovich L. L., Andreev E. S., Kharitonov S. I., Kazansky N. L. Reconstruction of an optical surface from a given source-target map. Journal of the Optical Society of America A, 2016, vol. 33, iss. 8, pp. 1504–1508. https://doi.org/10.1364/JOSAA.33.001504
  13. Sevastianov L. A., Lovetskiy K. P., Kulyabov D. S. Multistage collocation pseudo-spectral method for the solution of the first order linear ODE. 2022 VIII International Conference on Information Technology and Nanotechnology (ITNT). Samara, Russian Federation, Institute of Electrical Electronics Engineers Inc., 2022, pp. 1–6. https://doi.org/10.1109/ITNT55410.2022.9848731
  14. Lovetskiy K. P., Kulyabov D. S., Hissein A. W. Multistage pseudo-spectral method (method of collocations) for the approximate solution of an ordinary differential equation of the first order. Discrete and Continuous Models and Applied Computational Science, 2022, vol. 30, iss. 2, pp. 127–138. https://doi.org/10.22363/2658-4670-2022-30-2-127-138
  15. Stewart G. W. Afternotes on numerical analysis. Philadelphia, Pa, Society for Industrial and Applied Mathematics, 1996. 200 p. https://doi.org/10.1137/1.9781611971491
  16. Amiraslani A., Corless R. M., Gunasingam M. Differentiation matrices for univariate polynomials. Numerical Algorithms, 2020, vol. 83, pp. 1–31. https://doi.org/10.1007/s11075-019-00668-z
  17. Fornberg B. A practical guide to pseudospectral methods. Cambridge University Press, 1996. 230 p. https://doi.org/10.1017/CBO9780511626357
  18. Tenenbaum M., Pollard H. Ordinary differential equations. Dover, New York, Dover Publications, Inc., 1963. 818 p.
  19. Mendes N., Chhay M., Berger J., Dutykh D. Spectral methods. In: Mendes N., Chhay M., Berger J., Dutykh D. Numerical methods for diffusion phenomena in building physics. A practical introduction. Cham, Springer, 2019, pp. 167–209. https://doi.org/10.1007/978-3-030-31574-0_8
Поступила в редакцию: 
14.09.2023
Принята к публикации: 
04.12.2023
Опубликована: 
29.11.2024
  • 120 просмотров