Известия Саратовского университета. Новая серия.

Серия Математика. Механика. Информатика

ISSN 1816-9791 (Print)
ISSN 2541-9005 (Online)


Для цитирования:

Ватульян А. О., Юров В. О. Об одном новом подходе к идентификации неоднородных механических свойств упругих тел // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия : Математика. Механика. Информатика. 2024. Т. 24, вып. 2. С. 209-221. DOI: 10.18500/1816-9791-2024-24-2-209-221, EDN: WILEKW

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Опубликована онлайн: 
31.05.2024
Полный текст:
(downloads: 81)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
539.3
EDN: 
WILEKW

Об одном новом подходе к идентификации неоднородных механических свойств упругих тел

Авторы: 
Ватульян Александр Ованесович, Южный федеральный университет
Юров Виктор Олегович, Южный математический институт – филиал Владикавказского научного центра Российской академии наук
Аннотация: 

Представлен новый подход к решению задачи об идентификации переменных характеристик неоднородного упругого изотропного тела. Приведены наиболее употребительные постановки задач об определении переменных механических характеристик (параметры Ламе и плотность — функции координат). Обратная задача идентификации свойств в силу своей существенной нелинейности обычно решается итерационным образом, причем каждая итерация требует решения прямой задачи для некоторого начального приближения и системы интегральных уравнений Фредгольма  первого рода с гладкими ядрами для нахождения поправок. Такой подход, в свою очередь, требует задания поля перемещений в области, в которой осуществляется нагружение. Предложен подход, на базе которого возможно осуществлять реконструкцию при съеме дополнительной информации о поле смещений в области, отличной от области нагружения, в более узком пространстве поиска. Представлен пример такой реконструкции в задаче о продольных колебаниях неоднородного стержня, где амплитудно-частотная характеристика задана во внутренней точке стержня, а нагружение реализовано на торце. Приведены результаты вычислительных экспериментов по реконструкции модуля упругости и плотности в виде двух функций продольной координаты.

Благодарности: 
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 22-11-00265, https://rscf.ru/project/22-11-00265/) в Южном федеральном университете.
Список источников: 
  1. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. Москва : Наука, 1986. 288 с.
  2. Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма – Лиувилля и их приложения. Москва : Наука, 1984. 240 c.
  3. Kravchenko V. V. Direct and Inverse Sturm – Liouville Problems. A Method of Solution. Cham : Birkhauser, 2020. 154 p. (Frontiers in Mathematics).  https://doi.org/10.1007/978-3-030-47849-0
  4. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. Москва : Наука, 1984. 262 с.
  5. Яхно В. Г. Обратные коэффициентные задачи для дифференциальных уравнений упругости. Новосибирск : Наука, 1990. 304 с.
  6. Bui H. D. Inverse Problems in the Mechanic of Materials: An Introduction. Boca Raton, FL : CRC Press, 1994. 224 p.
  7. Isakov V. Inverse Problems for Partial Differential Equations. Cham : Springer, 2017. 406 p. (Applied Mathematical Sciences, vol. 127). https://doi.org/10.1007/978-3-319-51658-5
  8. Bonnet M., Constantinescu A. Inverse problems in elasticity // Inverse Problem. 2005. Vol. 21. P. 1–50. https://doi.org/10.1088/0266-5611/21/2/R01
  9. Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач. Москва : Физматлит, 2007. 384 с.
  10. Bal G. Introduction to Inverse Problems. New York : Columbia University, 2012. 205 p.
  11. Neto F. D. M., Neto A. J. S. An Introduction to Inverse Problems with Applications. Berlin : Springer, 2013. 255 p.
  12. Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск : Изд-во Сибирского отд. РАН, 2018. 512 с.
  13. Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Численные методы решения некорректных задач. Москва : Наука, 1990. 230 с.
  14. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. Москва : Едиториал УРСС, 2004. 480 с.
  15. Ватульян А. О. Коэффициентные обратные задачи механики. Москва : Физматлит, 2019. 272 с.
  16. Ватульян А. О., Нестеров С. А. Коэффициентные обратные задачи термомеханики. Ростов-на-Дону ; Таганрог : Изд-во Южного федерального ун-та, 2022. 176 с.
  17. Бондаренко А. Н., Бугуева Т. В., Дедок В. А. Нейросетевой подход к решению обратных задач теории аномальной диффузии // Сибирский журнал индустриальной математики. 2016. Т. 19, № 3 (67). С. 3–14. https://doi.org/10.17377/sibjim.2016.19.301, EDN: WHKNXJ
  18. Богачев И. В., Ватульян А. О., Дударев В. В. Об одном методе идентификации свойств многослойных мягких биологических тканей // Российский журнал биомеханики. 2013. Т. 17, № 3. С. 37–48. EDN: RDMLID
  19. Sinkus R., Lorenzen J., Schrader D., Lorenzen M., Dargatz M., Holz D. High-resolution tensor MR elastography for breast tumour detection // Physics in Medicine & Biology. 2000. Vol. 45, iss. 6. P. 1649–1664. https://doi.org/10.1088/0031-9155/45/6/317
  20. Manduca A., Oliphant T. E., Dresner M. A., Mahowald J. L., Kruse S. A., Amromin E., Felmlee J. P., Greenleaf J. F., Ehman R. L. Magnetic resonance elastography: Non-invasive mapping of tissue elasticity // Medical Image Analysis. 2001. Vol. 5, iss. 4. P. 237–254. https://doi.org/10.1016/s1361-8415(00)00039-6
  21. Сарвазян А. П. Низкочастотные акустические характеристики биологических тканей // Механика полимеров. 1975. № 4. С. 691–695.
  22. Sarvazyan A., Goukassian D., Maevsky G. Elasticity imaging as a new modality of medical imaging for cancer detection // Proceedings of an International Workshop on Interaction of Ultrasound with Biological Media. Valenciennes, France, 1994. P. 69–81.
  23. Sarvazyan A. P., Rudenko O. V., Swanson S. D., Fowlkes J. B., Emelianov S. Y. Shear wave elasticity imaging: A new ultrasonic technology of medical diagnostics // Ultrasound in Medicine & Biology. 1998. Vol. 24, iss. 9. P. 1419–1435. https://doi.org/10.1016/S0301-5629(98)00110-0, EDN: LFDAJV
  24. Arani A., Manduca A., Ehman R. L., Huston III J. Harnessing brain waves: A review of brain magnetic resonance elastography for clinicians and scientists entering the field // The British Journal of Radiology. 2021. Vol. 94. Art. 20200265. https://doi.org/10.1259/bjr.20200265
  25. Perkowski Z., Czabak M. Description of behaviour of timber-concrete composite beams including interlayer slip, uplift, and long-term effects: Formulation of the model and coefficient inverse problem // Engineering Structures. 2019. Vol. 194. P. 230–250. https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2019.05.058
  26. Dudarev V. V., Vatulyan A. O., Mnukhin R. M., Nedin R. D. Concerning an approach to identifying the Lame parameters of an elastic functionally graded cylinder // Mathematical Methods in the Applied Sciences. 2020. Vol. 43, iss. 11. P. 6861–6870. https://doi.org/10.1002/mma.6428
  27. Vatulyan A. O., Dudarev V. V., Mnukhin R. M. Identification of characteristics of a functionally graded isotropic cylinder // International Journal of Mechanics and Materials in Design. 2021. Vol. 17, iss. 2. P. 321–332. https://doi.org/10.1007/s10999-020-09527-5
  28. Vatulyan A. O., Yurov V. O. On the reconstruction of material properties of a radially inhomogeneous cylindrical waveguide // Mathematical Methods in the Applied Sciences. 2021. Vol. 44, iss. 6. P. 4756–4769. https://doi.org/10.1002/mma.7067
  29. Ватульян А. О., Юров В. О. Об определении механических характеристик стержневых элементов из функционально-градиентных материалов // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2021. № 4. С. 52–63. https://doi.org/10.31857/S0572329921040139, EDN: BPXTHE
  30. Ватульян А. О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. Москва : Физматлит, 2007. 223 с. EDN: UGLKIJ
Поступила в редакцию: 
26.11.2023
Принята к публикации: 
28.12.2023
Опубликована: 
31.05.2024