Известия Саратовского университета. Новая серия.

Серия Математика. Механика. Информатика

ISSN 1816-9791 (Print)
ISSN 2541-9005 (Online)


Для цитирования:

Ломов И. С. Оценки скорости сходимости и равносходимости спектральных разложений обыкновенных дифференциальных операторов // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия : Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 4. С. 405-417. DOI: 10.18500/1816-9791-2015-15-4-405-418

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Опубликована онлайн: 
21.12.2015
Полный текст:
(downloads: 95)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
УДК: 
517.927.25

Оценки скорости сходимости и равносходимости спектральных разложений обыкновенных дифференциальных операторов

Авторы: 
Ломов Игорь Сергеевич, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Аннотация: 

Настоящий обзор содержит анализ результатов, полученных В. А. Ильиным и его учениками, по вопросу оценки скорости сходимости и равносходимости с тригонометрическим рядом Фурье спектральных разложений функций по корневым функциям линейных обыкновенных дифференциальных операторов как самосопряженных, так и несамосопряженных, заданных на конечном отрезке числовой прямой. Приведена первая теорема В. А. Ильина о равносходимости спектральных разложений для дифференциального оператора произвольного порядка. Формулируются теоремы о скорости равносходимости спектральных разложений сначала для произвольных самосопряженных расширений одномерного оператора Шредингера. При этом потенциал оператора может иметь любые особенности на границе интервала. Это позволяет получить новые результаты даже для всех классических ортогональных полиномов. Далее формулируются результаты для несамосопряженных операторов. Завершается обзор теоремой о скорости равносходимости для так называемых нагруженных дифференциальных операторов. Оценки скорости равносходимости разложений получены как на любом внутреннем компакте интервала, так и на всем интервале. Установлена зависимость оценки скорости равносходимости разложений на произвольном компакте основного интервала от расстояния этого компакта до границы интервала.

Список источников: 
  1. Ильин В. А. О равномерной равносходимости разложений по собственным и присоединенным функциям несамосопряженного обыкновенного дифференциального оператора и в тригонометрический ряд Фурье // ДАН СССР. 1975. Т. 223, № 3. С. 548–551.
  2. Ломов И. С. Формула среднего значения Е. И. Моисеева для обыкновенных дифференциальных операторов четного порядка с негладкими коэффициентами // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, № 8. С. 1046–1057.
  3. Ильин В. А., Йо И. Оценка разности частичных сумм разложений, отвечающих двум произвольным неотрицательным самосопряженным расширениям двух операторов типа Штурма–Лиувилля, для абсолютно непрерывной функции // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, № 7. С. 1175–1193.
  4. Волков В. Е., Йо И. Оценка разности частичных сумм спектральных разложений, отвечающих двум операторам Шредингера // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22, № 11. С. 1865–1876.
  5. Ильин В. А. Равносходимость с тригонометрическим рядом разложений по корневым функциям одномерного оператора Шредингера с комплексным потенциалом из класса L 1 // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27, № 4. С. 577–597.
  6. Ильин В. А. Покомпонентная равносходимость с тригонометрическим рядом разложений по корневым вектор-функциям оператора Шредингера с матричным неэрмитовым потенциалом, все элементы которого только суммируемы // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27, № 11. С. 1862–1879.
  7. Ильин В. А. Спектральная теория дифференциальных операторов. М. : Наука, 1991. 368 с.
  8. Ильин В. А. Избранные труды : в 2 т. Т. 2. М. : МАКС Пресс, 2008. 692 с.
  9. Никольская Е. И. Оценка разности между частичными суммами разложений абсолютно непрерывной функции по корневым функциям, отвечающим двум одномерным операторам Шредингера с комплексными потенциалами из класса L1 // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28, № 4. С. 598–612.
  10. Курбанов В. М. О скорости равносходимости спектральных разложений // ДАН. 1999. Т. 365, № 4. С. 444–449.
  11. Ломов И. С. О скорости равносходимости рядов Фурье по собственным функциям операторов Штурма–Лиувилля в интегральной метрике // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, № 9. С. 1480– 1493.
  12. Ломов И. С. Коэффициентные условия сходимости в Lp(0,1) биортогональных разложений функций // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, № 1. С. 31–39.
  13. Ломов И. С. О влиянии степени суммируемости коэффициентов дифференциальных операторов на скорость равносходимости спектральных разложений. I // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, № 5. С. 619–628.
  14. Ломов И. С. О влиянии степени суммируемости коэффициентов дифференциальных операторов на скорость равносходимости спектральных разложений. II // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, № 8. С. 1066–1077.
  15. Ломов И. С. О локальной сходимости биортогональных рядов, связанных с дифференциальными операторами с негладкими коэффициентами. I // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, № 3. С. 328– 342.
  16. Ломов И. С. О локальной сходимости биортогональных рядов, связанных с дифференциальными операторами с негладкими коэффициентами. II // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, № 5. С. 648– 660.
  17. Ломов И. С. Сходимость биортогональных разложений функций на отрезке для дифференциальных операторов высокого порядка // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41, № 5. С. 632–646.
  18. Афонин С. В., Ломов И. С. О сходимости биортогональных рядов, связанных с дифференциальными операторами нечетного порядка с негладкими коэффициентами // ДАН. 2010. Т. 431, № 2. С. 151–153.
  19. Ломов И. С. Зависимость оценок скорости локальной сходимости спектральных разложений от расстояния внутреннего компакта до границы // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46, № 10. С. 1409–1420.
  20. Ломов И. С. Нагруженные дифференциальные операторы : сходимость спектральных разложений // Дифференц. уравнения. 2014. Т. 50, № 8. С. 1077–1086.
  21. Нахушев А. М. Нагруженные уравнения и их применение. М. : Наука, 2012. 232 с.
  22. Ломов И. С., Чернов В. В. Исследование спектральных свойств одного нагруженного дифференциального оператора второго порядка // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51, № 7. С. 861–865.
  23. Ломов И. С., Марков А. С. Оценки скорости локальной сходимости спектральных разложений дифференциальных операторов четного порядка // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49, № 5. С. 557– 563.
  24. Гомилко А. М., Радзиевский Г. В. Равносходимость рядов по собственным функциям обыкновенных функционально-дифференциальных операторов // ДАН. 1991. Т. 316, № 2. С. 265–270.
  25. Хромов А. П. Спектральный анализ дифференциальных операторов на конечном интервале // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, № 10. С. 1691–1696.
  26. Minkin A. M. Equiconvergence theorems for differential operators // J. Math. Sci. 1999. Vol. 96, № 6. P. 3631–3715. DOI: 10.1007/BF02172664.
  27. Садовничая И. В. Равносходимость в пространствах Соболева и Гельдера разложений по собственным функциям операторов Штурма– Лиувилля с потенциалами-распределениями // ДАН. 2011. Т. 437, № 2. С. 162–163.
  28. Хромов А. П. Теоремы равносходимости для интегро-дифференциальных и интегральных операторов // Матем. сб. 1981. Т. 114 (156), № 3. С. 378–405.
  29. Бурлуцкая М. Ш., Хромов А. П. Резольвентный подход в методе Фурье // ДАН. 2014. Т. 458, № 2. С. 138–140. DOI: 10.7868/S0869565214260041.
  30. Хромов А. П. О классическом решении одной смешанной задачи для волнового уравнения // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 1. С. 56–66.