Известия Саратовского университета. Новая серия.

Серия Математика. Механика. Информатика

ISSN 1816-9791 (Print)
ISSN 2541-9005 (Online)


Для цитирования:

Kuznetsova M. A. On recovering non-local perturbation of non-self-adjoint Sturm – Liouville operator [Кузнецова М. А. Восстановление нелокального возмущения несамосопряженного оператора Штурма – Лиувилля] // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2024. Т. 24, вып. 4. С. 488-497. DOI: 10.18500/1816-9791-2024-24-4-488-497, EDN: GRSGAI


Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Опубликована онлайн: 
25.11.2024
Полный текст:
(downloads: 46)
Язык публикации: 
английский
Рубрика: 
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
517.984
EDN: 
GRSGAI

On recovering non-local perturbation of non-self-adjoint Sturm – Liouville operator
[Восстановление нелокального возмущения несамосопряженного оператора Штурма – Лиувилля]

Авторы: 
Кузнецова Мария Андреевна, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского
Аннотация: 

В последнее время возник значительный интерес к обратным спектральным задачам для нелокальных операторов, возникающих во многих приложениях. В настоящей работе рассматривается оператор с замороженным аргументом $ly = -y''(x) + p(x)y(x) + q(x)y(a)$, который является нелокальным возмущением несамосопряженного оператора Штурма – Лиувилля. Исследуется обратная задача восстановления потенциала $q \in L_2(0, \pi)$ по спектру при известном коэффициенте $p\in L_2(0, \pi)$.  В то время как предыдущие работы были сосредоточены только на случае $p=0$, здесь исследуется более сложный несамосопряженный случай, требующий учета кратностей собственных значений. Мы развиваем подход, основанный на связи между характеристической функцией и коэффициентами $\{ \xi_n\}_{n \ge 1}$ потенциала $q$ по некоторому базису. Получены необходимые и достаточные условия для спектра, которые являются асимптотическими формулами особого вида. Из них следует, что часть спектра не зависит от $q$, т. е. является неинформативной. Для однозначной разрешимости обратной задачи кроме спектра необходимо задать часть коэффициентов $\xi_n$, которые являются минимальными дополнительными данными. Для обратной задачи по спектру и дополнительным данным получены теорема единственности и алгоритм.

Благодарности: 
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 22-21-00509, https://rscf.ru/project/22-21-00509/).
Список источников: 
  1. Borg G. Eine Umkehrung der Sturm–Liouvilleschen eigenwertaufgabe: Bestimmung der differential-gleichung durch die eigenwerte. Acta Mathematica, 1946, vol. 78, pp. 1–96. https://doi.org/10.1007/BF02421600
  2. Marchenko V. A. Sturm–Liouville operators and their applications. Basel, Birkhauser, 1986. 367 p. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-5485-6 (Russ. ed.: Kiev, Naukova dumka, 1977. 329 p.).
  3. Levitan B. M. Inverse Sturm–Liouville problems. Berlin, Boston, De Gruyter, 1987. 240 p. https://doi.org/10.1515/9783110941937 (Russ. ed.: Moscow, Nauka, 1984. 240 p.).
  4. Freiling G., Yurko V. A. Inverse Sturm–Liouville problems and their applications. New York, NOVA Science Publ., 2001. 305 p. EDN: ZVITUV
  5. Yurko V. A. Method of spectral mappings in the inverse problem theory. Inverse and Ill-posed Problems Series. Utrecht, Boston, Koln, Tokyo, VSP, 2002. 304 p. https://doi.org/10.1515/9783110940961, EDN: ZVIUEB
  6. Buterin S. A. On an inverse spectral problem for a convolution integro-differential operator. Results in Mathematics, 2007, vol. 50, pp. 173–181. https://doi.org/10.1007/s00025-007-0244-6
  7. Yurko V. Inverse spectral problems for first order integro-differential operators. Boundary Value Problems, 2017, vol. 2017, art. 98. https://doi.org/10.1186/s13661-017-0831-8
  8. Yang C.-F., Yurko V. On the determination of differential pencils with nonlocal conditions. Journal of Inverse and Ill-posed Problems, 2017, vol. 26, iss. 5, pp. 577–588. https://doi.org/10.1515/jiip-2017-0076
  9. Pikula M., Vladicic V., Vojvodic B. Inverse spectral problems for Sturm–Liouville operators with a constant delay less than half the length of the interval and Robin boundary conditions. Results in Mathematics, 2019, vol. 74, art. 45. https://doi.org/10.1007/s00025-019-0972-4
  10. Djuric N., Buterin S. On an open question in recovering Sturm–Liouville-type operators with delay. Applied Mathematics Letters, 2021, vol. 113, art. 106862. https://doi.org/10.1016/j.aml.2020.106862
  11. Buterin S. A. Uniform full stability of recovering convolutional perturbation of the Sturm–Liouville operator from the spectrum. Journal of Differential Equations, 2021, vol. 282, pp. 67–103. https://doi.org/10.1016/j.jde.2021.02.022
  12. Bondarenko N. P. Inverse problem for a differential operator on a star-shaped graph with nonlocal matching condition. Boletin de la Sociedad Matematica Mexicana, 2023, vol. 29, art. 2. https://doi.org/10.1007/s40590-022-00476-x
  13. Albeverio S., Hryniv R. O., Nizhnik L. P. Inverse spectral problems for non-local Sturm–Liouville operators. Inverse Problems, 2007, vol. 23, iss. 2, art. 523. https://doi.org/10.1088/0266-5611/23/2/005
  14. Nizhnik L. P. Inverse nonlocal Sturm–Liouville problem. Inverse Problems, 2010, vol. 26, iss. 12, art. 125006. https://doi.org/10.1088/0266-5611/26/12/125006
  15. Bondarenko N. P., Buterin S. A., Vasiliev S. V. An inverse spectral problem for Sturm–Liouville operators with frozen argument. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2019, vol. 472, iss. 1, pp. 1028–1041. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2018.11.062
  16. Buterin S. A., Vasiliev S. V. On recovering a Sturm–Liouville-type operator with the frozen argument rationally proportioned to the interval length. Journal of Inverse and Ill-posed Problems, 2019, vol. 27, iss. 3, pp. 429–438. https://doi.org/10.1515/jiip-2018-0047
  17. Buterin S., Kuznetsova M. On the inverse problem for Sturm–Liouville-type operators with frozen argument: Rational case. Computational and Applied Mathematics, 2020, vol. 39, art. 5. https://doi.org/10.1007/s40314-019-0972-8
  18. Wang Y.-P, Zhang M., Zhao W., Wei X. Reconstruction for Sturm–Liouville operators with frozen argument for irrational cases. Applied Mathematics Letters, 2021, vol. 111, art. 106590. https://doi.org/10.1016/j.aml.2020.106590
  19. Buterin S., Hu Y.-T. Inverse spectral problems for Hill-type operators with frozen argument. Analysis and Mathematical Physics, 2021, vol. 11, art. 75. https://doi.org/10.1007/s13324-021-00500-9
  20. Tsai T.-M., Liu H.-F., Buterin S., Chen L.-H, Shieh C.-T. Sturm–Liouville-type operators with frozen argument and Chebyshev polynomials. Mathematical Methods in the Applied Sciences, 2022, vol. 45, iss. 16, pp. 9635–9652. https://doi.org/10.1002/mma.8327
  21. Kuznetsova M. А. Inverse problem for the Sturm–Liouville operator with a frozen argument on the time scale. Itogi Nauki i Tekhniki. Sovremennaya Matematika i ee Prilozheniya. Tematicheskie Obzory [Progress in Science and Technology. Contemporary Mathematics and Its Applications. Thematic Surveys], 2022, vol. 208, pp. 49–62 (in Russian). https://doi.org/10.36535/0233-6723-2022-208-49-62, EDN: JVRUQD
  22. Kuznetsova M. Necessary and sufficient conditions for the spectra of the Sturm–Liouville operators with frozen argument. Applied Mathematics Letters, 2022, vol. 131, art. 108035. https://doi.org/10.1016/j.aml.2022.108035
  23. Dobosevych O., Hryniv R. Reconstruction of differential operators with frozen argument. Axioms, 2022, vol. 11, iss. 1, art. 24. https://doi.org/10.3390/axioms11010024
  24. Bondarenko N. P. Finite-difference approximation of the inverse Sturm–Liouville problem with frozen argument. Applied Mathematics and Computation, 2022, vol. 413, art. 126653. https://doi.org/10.1016/j.amc.2021.126653
  25. Kuznetsova M. Uniform stability of recovering the Sturm–Liouville operators with frozen argument. Results in Mathematics, 2023, vol. 78, iss. 5, pp. 169. https://doi.org/10.1007/s00025-023-01945-z
  26. Kraal A. M. The development of general differential and general differential-boundary systems. The Rocky Mountain Journal of Mathematics, 1975, vol. 5, iss. 4, pp. 493–542. https://doi.org/10.1216/RMJ-1975-5-4-493
  27. Lomov I. S. Loaded differential operators: Convergence of spectral expansions. Differential Equations, 2014, vol. 50, pp. 1070–1079. https://doi.org/10.1134/S0012266114080060
  28. Lomov I. S. Spectral method of V. A. Ilyin. Non-self-adjoint operators. I. The operator of the second order. Basis and uniform convergence of spectral decompositions. Moscow, MAKS Press, 2019. 132 p. (in Russian). EDN: AVUERZ
  29. Feller W. The parabolic differential equations and the associated semi-groups of transformations. Annals of Mathematics, 1952, vol. 55, iss. 3, pp. 468–519. https://doi.org/10.2307/1969644
  30. Feller W. Diffusion processes in one dimension. Transactions of the American Mathematical Society, 1954, vol. 77, pp. 1–31. https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1954-0063607-6
  31. Gordeziani N. On some non-local problems of the theory of elasticity. Bulletin of TICMI, 2000, vol. 4, pp. 43–46. Available at: https://emis.univie.ac.at//journals/TICMI/vol4/natogtic.ps (accessed April 28, 2023).
  32. Szymanska-Debowska K. On the existence of solutions for nonlocal boundary value problems. Georgian Mathematical Journal, 2015, vol. 22, iss. 2, pp. 273–279. https://doi.org/10.1515/gmj-2015-0005
  33. Polyakov D. M. Nonlocal perturbation of a periodic problem for a second-order differential operator. Ordinary Differential Equations, 2021, vol. 57, iss. 1, pp. 11–18. https://doi.org/10.1134/S001226612101002X
  34. Shkalikov A. A. The completeness of eigenfunctions and associated functions of an ordinary differential operator with irregular-separated boundary conditions. Functional Analysis and Its Applications, 1976, vol. 10, iss. 4, pp. 305–316. https://doi.org/10.1007/BF01076030
  35. Naimark M. A. Linear differential operators. Moscow, Fizmatlit, 2010. 528 p. (in Russian). EDN: RYRSSP
Поступила в редакцию: 
16.05.2023
Принята к публикации: 
29.05.2023
Опубликована: 
29.11.2024