Известия Саратовского университета. Новая серия.

Серия Математика. Механика. Информатика

ISSN 1816-9791 (Print)
ISSN 2541-9005 (Online)

Для цитирования:

Dekhkonov F. N. On a time-optimal control problem for a heat conduction equation with involution [Дехконов Ф. Н. О задаче оптимального по времени управления для уравнения теплопроводности с инволюцией] // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2025. Т. 25, вып. 4. С. 467-478. DOI: 10.18500/1816-9791-2025-25-4-467-478, EDN: GQNYBX

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Опубликована онлайн: 
28.11.2025
Полный текст:
скачать
(downloads: 36)
Язык публикации: 
английский
Рубрика: 
Математика
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
517.977
DOI: 
10.18500/1816-9791-2025-25-4-467-478
EDN: 
GQNYBX

On a time-optimal control problem for a heat conduction equation with involution
[О задаче оптимального по времени управления для уравнения теплопроводности с инволюцией]

Авторы: 
Дехконов Фаррух Нуриддин угли, Наманганский государственный университет
Аннотация: 

В данной работе рассматривается задача граничного управления для уравнения теплопроводности с инволюцией в ограниченной одномерной области. Приводится решение с функцией управления на границе стержня. Определены ограничения на управление, обеспечивающие достижение средним значением решения в рассматриваемой области заданного значения. Рассматриваемая задача управления сводится к интегральному уравнению Вольтерра, которое является первым типом, с помощью метода Фурье. Доказательство существования допустимого управления связано с существованием решения интегрального уравнения. Методом преобразования Лапласа доказано существование функции управления и найдена оценка минимального времени достижения заданной средней температуры в стержне.

Ключевые слова: 
начально-краевая задача
уравнение теплопроводности
минимальное время
интегральное уравнение
допустимое управление
преобразование Лапласа
инволюция
Благодарности: 
Автор благодарен академику Ш. А. Алимову за его ценные замечания.
Список источников: 
  1. Fattorini H. O. Time-optimal control of solutions of operational differential equations. Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics Series A Control, 1964, vol. 2, iss.1, pp. 54–59. DOI: https://doi.org/10.1137/0302005
  2. Friedman A. Optimal control for parabolic equations. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1967, vol. 18, iss. 3, pp. 479–491. DOI: https://doi.org/10.1016/0022-247X(67)90040-6
  3. Egorov Yu. V. Optimal control in a Banach space. Doklady Akademii Nauk SSSR, 1963, vol. 150, iss. 2, pp. 241–244 (in Russian).
  4. Chen N., Wang Y., Yang D.-H. Time-varying bang-bang property of time optimal controls for heat equation and its applications. Systems & Control Letters, 2018, vol. 112, pp. 18–23. DOI: https://doi.org/10.1016/j.sysconle.2017.12.008
  5. Albeverio S., Alimov Sh. A. On one time-optimal control problem associated with the heat exchange process. Applied Mathematics and Optimization, 2008, vol. 57, pp. 58–68. DOI: https://doi.org/10.1007/s00245-007-9008-7
  6. Alimov Sh. A., Komilov N. M. Determining the thermal mode setting parameters based on output data. Differential Equations, 2022, vol. 58, pp. 21–35. DOI: https://doi.org/10.1134/S00122661220 10049
  7. Dekhkonov F. N. On the control problem associated with the heating process. Mathematical Notes of NEFU, 2022, vol. 29, iss. 4, pp. 62–71. DOI: https://doi.org/10.25587/SVFU.2023.82.41.005
  8. Dekhkonov F. N. Boundary control associated with a parabolic equation. Journal of Mathematics and Computer Science, 2024, vol. 33, iss. 2, pp. 146–154. DOI: https://doi.org/10.22436/jmcs.033.02.03
  9. Fayazova Z. K. Boundary control of the heat transfer process in the space. Russian Mathematics (Izvestiya VUZ. Matematika), 2019, vol. 63, iss. 12, pp. 71–79. DOI: https://doi.org/10.3103/S1066369X19120089
  10. Dekhkonov F. N. Boundary control problem for the heat transfer equation associated with heating process of a rod. Bulletin of the Karaganda University. Mathematics Series, 2023, vol. 110, iss. 2, pp. 63–71. DOI: https://doi.org/10.31489/2023m2/63-71
  11. Dekhkonov F. N. On the time-optimal control problem for a heat equation. Bulletin of the Karaganda University. Mathematics Series, 2023, vol. 111, iss. 3, pp. 28–38. DOI: https://doi.org/10.31489/2023m3/28-38
  12. Lions J. L. Contróle optimal de systèmes gouvernès par des équations aux dérivées partielles. Paris, Dunod, Gauthier-Villars, 1968. 426 p. (in French).
  13. Fursikov A. V. Optimal control of distributed systems, theory and applications. Translations of Mathematical Monographs, vol. 187. Providence, RI, AMS, 2000. 305 p. DOI: https://doi.org/10.1090/mmono/187
  14. Altmüller A., Grüne L. Distributed and boundary model predictive control for the heat equation. GAMM-Mitteilungen, 2012, vol. 35, iss. 2, pp. 131–145. DOI: https://doi.org/10.1002/gamm.201210010
  15. Laroche B., Martin P., Rouchon P. Motion planning for the heat equation. International Journal of Robust and Nonlinear Control, 2000, vol. 10, iss. 8, pp. 629–643. DOI: https://doi.org/10.1002/1099-1239(20000715)10:8<_x0036_29:_x003a_AID-RNC502>3.0.CO;2-N
  16. Mussirepova E., Sarsenbi A., Sarsenbi A. The inverse problem for the heat equation with reflection of the argument and with a complex coefficient. Boundary Value Problems, 2022, art. 99 (2022). DOI: https://doi.org/10.1186/s13661-022-01675-1
  17. Kopzhassarova A., Sarsenbi A. Basis properties of eigenfunctions of second-order differential operators with involution. Abstract and Applied Analysis, 2012, vol. 2012, iss. 1, art. 576843. DOI: https://doi.org/10.1155/2012/576843
  18. Ahmad B., Alsaedi A., Kirane M., Tapdigoglu R. An inverse problem for space and time fractional evolution equations with an involution perturbation. Quaestiones Mathematicae, 2017, vol. 40, iss. 2, pp. 151–160. DOI: https://doi.org/10.2989/16073606.2017.1283370
  19. Dekhkonov F. N. On the control problem associated with a pseudo-parabolic type equation in an one-dimensional domain. International Journal of Applied Mathematics, 2024, vol. 37, iss. 1, pp. 109–118. DOI: https://doi.org/10.12732/ijam.v37i1.9
  20. Dekhkonov F. N. Boundary control problem associated with a pseudo-parabolic equation. Stochastic Modelling and Computational Sciences, 2023, vol. 3, iss. 1, pp. 119–130. DOI: https://doi.org/10.61485/SMCS.27523829/v3n1P9
  21. Cabada A., Tojo F. A. F. General results for differential equations with involutions. In: Differential Equations with Involutions. Paris, Atlantis Press, 2015, pp. 17–23. DOI: https://doi.org/10.2991/978-94-6239-121-5_2
  22. Carleman T. Sur la théorie des équations intégrales et ses applications. Verhandlungen des Internationalen Mathematiker-Kongresses. Zürich, 1932, vol. 1, pp. 138–151 (in French).
  23. Wiener J. Generalized solutions of functional-differential equations. New Jersey, World Scientific Publ., 1993. 424 p. DOI: https://doi.org/10.1142/9789814343183
  24. Dekhkonov F. N., Kuchkorov E. I. On the time-optimal control problem associated with the heating process of a thin rod. Lobachevskii Journal of Mathematics, 2023, vol. 44, iss. 3, pp. 1134–1144. DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080223030101
  25. Tikhonov A. N., Samarsky A. A. Equations of mathematical physics. Moscow, Nauka, 1966. 724 p. (in Russian).
  26. Alimov Sh. A., Dekhkonov F. N. On a control problem associated with fast heating of a thin rod. Bulletin of National University of Uzbekistan: Mathematics and Natural Sciences, 2019, vol. 2, iss. 1, pp. 1–14. DOI: https://doi.org/10.56017/2181-1318.1016
Поступила в редакцию: 
03.10.2024
Принята к публикации: 
12.02.2025
Опубликована: 
28.11.2025
  • 213 просмотров